∴OD=AD+OA=5，

∴C点坐标为(3，5);

(2)设P点坐标为(a，b)，过P作PF⊥y轴于F，PH⊥x轴于H，如图，

∵点P在抛物线y=  x2上，

∴b=  a2，

∴d1=  a2，

∵AF=OF-OA=PH-OA=d1-1=  a2-1，PF=a，

在Rt△PAF中，PA=d2=

=  a2+1，

∴d2=d1+1;

(3)由(1)得AC=5，

∴△PAC的周长=PC+PA +5

=PC+PH+6，

则C、P、H三点共线时，PC+PH最小，

∴此时P点的横坐标为3，把x=3代入y=  x2，得到y= ，

即P点坐标为(3， )，此时PC+PH=5，

∴△PAC的周长的最小值=5+6=11.

【点评】本题考查了点在抛物线上，点的横纵坐标满足二次函数的解析式和顶点在原点的二次函数的解析式为：y=ax2;也考查了旋转的性质、勾股定理以及两点之间线段最短.本题第(3)小题的关键是将△PAC的周长转化为PC与PH和的关系，从而求出三角形周长的最小值.难度较大.

10、(2011山西，26，14分)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，直线l经过 O、C两点，点A的坐标为(8，0)，点B的坐标为(11，4)，动点P在线段OA上从点A出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O﹣C﹣B相交于点M，当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设P、Q运动的时间为t秒 (t>0)，△MPQ的面积为S.

(1)点C的坐标为           ，直线l的解析式为

(2)试求出点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围。

(3)试求题(2)中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值。

(4)随着P 、Q两点的运动，当点M在线段CB上运动时，设PM的延长线与直线l交于点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形，请直接写出t的值。

【解题思路】(1)A的坐标为(8，0)，B的坐标为(11，4)由平行四边形的性质可知点C的坐标为(3，4)，又O(0,0)所以直线l的解析式为 。(2)由题意可知随着P、Q两点的运动△MPQ的形状也在发生变化，所以我们要分情况讨论，易求出AB=OC=5，OP=t，AQ=2t，OM= t，Q与B重合时2t =5，t= ，M与C重合时，Q在AB上， t =5，t=3，点Q与点M相遇时，16﹣2t=t， t= 。Q在AB上时，如图1，0

【答案】解：(1)点C的坐标为(3，4)，直线l的解析式为 。

(2)根据题意，得OP=t，AQ=2t，分三种情况讨论：

①当0

过点C作CD⊥x轴于D，过点Q作QE⊥x轴于E，可得

△AEQ∽△ODC

∴ ，

∴AE= ，EQ=

∴Q点的坐标是(8+ ， )，∴PE=8+ ﹣t=8+

∴S= = × ×(8+ )= +

②当

∵BQ=2t﹣5，∴OF=11﹣(2t﹣5)=16﹣2t。

∴点Q的坐标是(16﹣2t，4)∴PF=16﹣2t﹣t=16﹣3t。

∴S= = × ×(16﹣3t)= +

③当点Q与点M相遇时，16﹣2t=t，解得t=

当3

S= = ×4×(16﹣3t)=﹣6t﹣32。

(3)①当0

∵a= >0，抛物线开口向上，对称轴为直线x=﹣20，

∴当0

∴t= 时，S有最大值，最大值为

②当

∵a=﹣2>0，抛物线开口向下，

∴t= 时，S有最大值，最大值为

③当3

又∵t=3时，S=14，当t= 时S=0，∴0

综上所述，当t= 时，S有最大值，最大值为

(4)当t= 时，△QMN为等腰三角形

【点评】本题是一个代数、几何综合题，涉及到的知识点较多，主要涉及到平行四边形性质、勾股定理、三角函数、三角形面积、二次函数、一次函数、等腰三角形等。第一问较为简单一般不会出错，第二问需要根据动点的位置进行分类讨论，关键在于准确进行分类，分类的依据就是点的位置的变化(动点在不同线段上)，此问容易因分类不清而导致错误，这一问是第三问的前提，一定要认真细心确保正确，不然第三问就不可能做对，第三问根据第二问的结果分别求出每个表达式的最大值，再进行比较，有范围的函数的最值要时刻注意自变量的取值范围，第四问 判断等腰三角形的存在性问题也要分情况讨论，对应此题先判断三角形是直角三角形就降低了难度。难度较大。

11. (2011黑龙江绥化，28，10分)

已知直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，∠ABC=60°，BC与x轴交于点C。

(1) 试确定直线BC的解析式.

(2) 若动点P从A点出发沿AC向点C运动(不与A、C重合),同时动点Q从C点出发沿CBA向点A运动(不与A、C重合),动点P的运动速度是每秒1个单位长度,动点Q的运动速度是每秒2个单位长度.设△APQ的面积为S,P点的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围。

(3) 在(2)的条件下，当△APQ的面积最大时，y轴上有一点M，平面内是否存在一点N，使以A、Q、M、N为顶点的四边形为菱形?若存在，请直接写出N点的坐标;若不存在，请说明理由。

【解题思路】(1)根据直线 ，可出求出其与坐标轴交点的坐标：A( -4，0)，B(0，4 )，所以OA=4，OB=4 ，可求出∠BAO=60°，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，OC=OA=4，∴C(4，0)，用待定系数法求出一次函数的关系式;(2)分当点Q在BC和AB上两种情况，求出AP上高的表达式从而写出S与t的函数关系式;(3)当点Q与点B重合时，△APQ的面积最大，AQ(B)作为菱形的一边有三种情况(4，0)(-4，8)(-4，-8)，AQ(B)作为菱形的一条对角线有一种情况(-4， ).

【答案】(1)由已知得A点坐标(-4，0)，点B坐标为(0，4 ).∵OA=4，OB=4 ，∴∠BAO=60°，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形.∵OC=OA=4，∴C点坐标(4，0).设直线BC的解析式为y=kx+b,  ,∴ ,∴直线BC的解析式为 .(2)当P点在AO之间运动时，作QH⊥x轴.∵ ，∴ ，∴QH= 5t.，∴S△APQ= (0

【点评】本题综合考查三角函数、一次函数、特殊四边形等知识及运动的观点解题，涉及的数据多，关系复杂，因此能读懂题意，明确题中数量关系是解题的关键。

12.(2011浙江湖州，24，12分)如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上，M是BC的中点.P(0，m)是线段OC上一动点(C点除外)，直线PM交AB的延长线于点D.

(1)求点D的坐标(用含m的代数式表示);

(2)当△APD是等腰三角形时，求m的值;

(3)设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作ME的垂线，垂足为H(如图2).当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动.请直接写出点H所经过的路径长.(不必写出解答过程).

【解题思路】第(1)由于M是BC的中点，AD∥OC，可得Rt△PMC≌Rt△DMB，从而得出CP=BD，容易得D的坐标为(2，4-m).

第(2)是条件不确定，也就是△APD是等腰三角形没有说哪两边相等，所以应分三种情况来讨论.计算的过程构造直角三角形来进行计算，

第(3)是探究性试题，P点的运动，带动了图形发生变化，也就是E点在x轴上的运动又引起了H点的变化，经过探究可知H点的轨迹是个90°的圆弧.直径是OM，于是可计算出点H运动的路径.

【答案】解：(1)由题意得CM=BM，

∵∠PMC=∠DMB，

∴Rt△PMC≌Rt△DMB，

∴DB=PC，

∴DB=2-m，AD=4-m，