【答案】解：(1)证明：∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，即AC⊥BC.

又∵OE⊥BC，∴OE//AC，∴∠BAC=∠FOB.

∵BN是半圆的切线，故∠BCA=∠OBF=90°.

∴△ACB∽△OBF.

(2)由△ACB∽△OBF，得∠OFB=∠DBA，∠DAB=∠OBF=90°，

∴△ABD∽△BFO，

当△ABD与△BFO的面积相等时，△ABD≌△BFO.

∴AD=BO= AB =1.

∵DA⊥AB，∴DA为⊙O的切线.

连接OP，∵DP是半圆O的切线，

∴DA=DP=1，∴DA=AO=OP=DP=1，

∴四边形ADPO为正方形.

∴DP//AB，∴四边形DABQ为矩形.

∴BQ=AD=1.

(3)由(2)知，△ABD∽△BFO，

∴ ，∴ .

∵DPQ是半圆O的切线，∴AD=DP，QB=QP.

过点Q作AM的垂线QK，垂足为K，在Rt△DQK中， ，

∴ ，

∴ ，∴BF=2BQ，∴Q为BF的中点.

【点拨】本题考查了相似三角形、切线长定理、勾股定理等知识，综合性较强.在解题时要注意利用已知条件，构建模型，第三问是动点移动问题，解决时要把动点转化为静点来分析.难度较大.

4.(2011广东省，21，9分)如图(1)，△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90º，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止.现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，D F(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线) 于G，H点，如图(2)

(1)问：始终与△AGC相似的三角形有△HAB及△HGA;

(2)设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式(只要求根据图(2)的情形说明理由);

(3)问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形.

【解题思路】第(1)小题可以利用角的关系来证明，也可以考虑先证明DE⊥BC,还可以考虑用三角形的中位线来证明.第(2)小题关键之处在于要分顶点的两种不同对应关系来讨论.第(3)小题当“四边形MEND与△BDE的面积相等”相等时可带来 ≌ ,可以推证得到DE=BE,DM=BM.对于本题，还有很重要的一点那就是 ∽ ，它的三边之比是3:4:5.综合这些结论可以通过列方程等方法解决本题.

【答案】(1)△HAB及△HGA

(2)由△AGC∽△HAB，得AC/HB=GC/AB，即9/y=x/9，故y=81/x (0

(3)由角平分线性质易得 •

∵

∴ •  • 即

∴EM是BD的垂直平分线.

∴∠EDB=∠DBE

∴∠EDB=∠CDE  ∴∠DBE=∠CDE

又∵∠DCE=∠BCD

∴△CDE∽△CBD

∴ ①

∴ 即可

又∵    ∴

由①式得

∴   ∴

∴

【点评】本题是一个两点同时运动的动态图形变化问题，求三角形的面积，关键是求决定这个三角形面积的几个量。本题难点在第三问上，有利于培养学生的分类讨论思想，但难度较大，具有明显的区分度.

5.(2011广东省，21，9分)如图，抛物线 与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3，0).

(1)求直线AB的函数关系式;

(2)动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N. 设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围;

(3)设在(2)的条件下(不考虑点P与点O，点C重合的情况)，连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形?问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形?请说明理由.

【解题思路】(1)解决关键是由B点坐标求出直线解析式，发现四边形ACBD是正方形.(2)将C、D两点坐标代入抛物线解析式构造二元一次方程组求解.(3)是存在的，需要由EM∥x轴理解E，M两点的纵坐标相同，进一步理解E，M两点关于抛物线的对称轴对称.

【答案】(1)易知A(0,1)，B(3,2.5)，可得直线AB的解析式为y=

(2)

(3)若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，此时，有

，解得 ，

所以当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形.

①当t=1时， ， ，故 ,

又在Rt△MPC中， ，故MN=MC，此时四边形BCMN为菱形②当t=2时， ， ，故 ,

又在Rt△MPC中， ，故MN≠MC，此时四边形BCMN不是菱形.

【点评】此题是一道解析几何问题，综合考查了二次函数、一次函数、正方形、抛物线的平移等知识，需要学生系统掌握待定系数法，数形结合及分类讨论的数学思想，才能很好的解答.(1)(2)两问设计简洁明快，上手容易.第(3)问属于存在探究性问题，这类问题往往是要判断符合条件的关系式或结论是否存在，解答时，可以先对其做出肯定的假设，然后由此出发，结合已知条件进行计算和推理论证，若推出矛盾结论，则可否定先前假设，若推出合理结论，则肯定假设正确，从而最终得出问题的结论.难度较大

6. (本题满分12分) (2011山东德州，23，12分)在直角坐标系xoy中，已知点P是反比例函数 图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A.

(1)如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由.

(2)如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C.当四边形ABCP是菱形时：①求出点A，B，C的坐标.②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的 .若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由.

【解题思路】(1)由于以P为圆心的圆与x、y轴相切，可判断四边形OKPA是矩形，又因为圆的半径相等，所以四边形OKPA是正方形.

(2)先判断△PBC为等边三角形，然后留言等边三角形性质求出：PA=OG=2，BG=CG=1，∴OB=OG-BG=1，OC=OG+GC=3，即可确定点A，B，C的坐标.从而写出二次函数的解析式，最后再根据△MBP的面积是菱形ABCP面积的 确定M的坐标.

【答案】(1)∵⊙P分别与两坐标轴相切，∴ PA⊥OA，PK⊥OK.∴∠PAO=∠OKP=90°.又∵∠AOK=90°，∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°.∴四边形OKPA是矩形.又∵OA=OK，∴四边形OKPA是正方形.

(2)①连接PB，设点P的横坐标为x，则其纵坐标为 .

过点P作PG⊥BC于G.

∵四边形ABCP为菱形，

∴BC=PA=PB=PC.

∴△PBC为等边三角形.

在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，