PG= .

sin∠PBG= ，即 .解之得：x=±2(负值舍去).∴ PG= PA=BC=2.易知四边形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，∴OB=OG-BG=1，OC=OG+GC=3.∴A(0， )，B(1，0)，C(3，0).设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c.据题意得： ，解之得：a= ， b= ，c= .∴二次函数关系式为： .

②解法一：设直线BP的解析式为：y=ux+v，据题意得： ，解之得：u= ，v= .∴直线BP的解析式为： .过点A作直线AM∥PB，则可得直线AM的解析式为： .解方程组： ，得：  ;  .过点C作直线CM∥PB，则可设直线CM的解析式为： .∴0= . ∴ .

∴直线CM的解析式为： .解方程组：

得：  ;  .综上可知，满足条件的M的坐标有四个，分别为：(0， )，(3，0)，(4， )，(7， ).

解法二：∵ ，∴A(0， )，C(3，0)显然满足条件.延长AP交抛物线于点M，由抛物线 与圆的轴对称性可知，PM=PA.又∵AM∥BC，∴ .∴点M的纵坐标为 .又点M的横坐标为AM=PA+PM=2+2=4.∴点M(4， )符合要求.点(7， )的求法同解法一.综上可知，满足条件的M的坐标有四个，分别为：(0， )，(3，0)，(4， )，(7， ).

解法三：延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA.又∵AM∥BC，∴ .∴点M的纵坐标为 .即 .解得： (舍)， .∴点M的坐标为(4， ).点(7， )的求法同解法一.综上可知，满足条件的M的坐标有四个，分别为：(0， )，(3，0)，(4， )，(7， ).

【点评】这是一道以坐标系为背景，它综合了反比例函数、二次函数、圆以及特殊四边形等知识，本题图形熟悉，解法常规.但题目的切入点比较新颖.虽是老图，但蕴含新意;虽是陈题，但体现新知.让学生有一种似曾相识的感觉，提高了学生的解题兴趣，同时也激发了学生思考的热情，对学生能力的考察也起到了比较显著的作用.题目综合性强，难度较大.

7.(山东临沂  第25题  11分)如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G.

(1)求证：EF=EG;

(2)如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，(1)中的结论是否成立?若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由;

(3)如图3，将(2)中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边始终经过点B，其他条件不变，若AB=a,BC=b,求 的值.

解题思路：(1)要证明EF=EG可以证它们所在△ABG与△ADF全等;(2)由(1)小题的启发，过点E分别作BC边和CD边的垂线段，构造全等三角形来证明EF=EG;也可以过点A分别作EF和EG的平行线，把(2)小题转化为(1)小题，由平行线得到成比例线段容易证得结论;(3)分别过点E分别作EM⊥BC于M,EN⊥CD于N，构造相似三角形，根据对应边成比例，把 转化为 ,再由平行线得到成比例线段，用a、b表示 从而求解.

解答：(1)∵正方形ABCD，∴AB=AD,∠BAD=∠BAF+∠FAD=900,

∵∠BAF+∠GAB=900, ∴∠FAD=∠GAB,

∵∠D=∠ABG=900, ∴△ADF≌△ABG, ∴EF=EG.

(2)过点E分别作EM⊥BC于M,EN⊥CD于N，

∵正方形ABCD，∴四边形EMCN是正方形，∴EM=EN.

∵∠GEM+∠MEF=900, ∠FEN+∠MEF=900, ∴∠GEM=∠FEN,

∵∠ENF=∠EMG=900, ∴△ENF≌△EMG, ∴EF=EG.

(3) 过点E分别作EM⊥BC于M,EN⊥CD于N，

易证∠GEM=∠FEN, ∴△GEM∽△FEN,∴ ,

∵∠D=900, ∴EN∥AD, ∴ ,

同理： ,∴ ,∴ ，

∴ .

点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形、相似三角形、平行线分线段成比例等知识，运用了数学的转化思想进行数学探究活动，难点是如何通过添作高线构造全等三角形和相似三角形.本题的难度较大.

8. (2011四川广安，30，12分)如图9所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD= 90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A(-1.0)，B( -1.2)，D( 3.0)，连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到O/V，若抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N。

(1)求抛物线的解析式

(2)抛物线上是否存在点P.使得PA= PC.若存在，求出点P的坐标;若不存在.请说明理由。

(3)设抛物线与x轴的另—个交点为E.点Q是抛物线的对称轴上的—个动点，当点Q在什么位置时有 最大?并求出最大值。

【解题思路】1)待定系数法求二次函数解析式

2)求线段AC垂直平分线与抛物线的交点

3)为直线上一点到直线外两点距离差最小 利用轴对称解题

【答案】(1)解：由题意可得M(0.2)，N(-3.2)

∴

解得：

∴y=

(2)∵PA= PC         ∴P为AC的垂直平分线上，依题意，AC的垂直平分线经过(-1.2)(1.0)  所在的直线为y=-x+1

解得：

∴P1( )P2( )

(3)D为E关于对称轴x=1 .5对称

CD所在的直线y=-x+3

∴yQ=4.5  ∴Q(-1.5.4.5)

最大值为QC= =

【点评】本题综合性较强。为难题

9.(2011四川眉山，26，11分)如图，在直角坐标系中，已知点A(0，1)，B(-4，4)，将点B绕点A顺时针方向90°得到点C;顶点在坐标原点的拋物线经过点B.

(1)求抛物线的解析式和点C的坐标;

(2)抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2=d1+1;

(3)在(2)的条件下，请探究当点P位于何处时，△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值.

【解题思路】(1)设抛物线的解析式：y=ax2，把B(-4，4)代入即可得到a的值;过点B作BE⊥y轴于E，过点C作CD⊥y轴于D，易证Rt△BAE≌Rt△ACD，得到AD=BE=4，CD=AE=OE-OA=4-1=3，即可得到C点坐标(3，5);

(2)设P点坐标为(a，b)，过P作PF⊥y轴于F，PH⊥x轴于H，则有d1=  a2，又AF=OF-OA=PH-OA=d1-1=  a2-1，PF=a，在Rt△PAF中，利用勾股定理得到PA=d2=  a2+1，即有结论d2=d1+1;

(3)△PAC的周长=PC+PA+5，由(2)得到△PAC的周长=PC+PH+6，要使PC+PH最小，则C、P、H三点共线，P点坐标为(3， )，此时PC+PH=5，得到△PAC的周长的最小值=5+6=11.

【答案】(1)设抛物线的解析式：y=ax2，

∵拋物线经过点B(-4，4)，

∴4=a•42，解得a= ，

所以抛物线的解析式为：y=  x2;

过点B作BE⊥y轴于E，过点C作CD⊥y轴于D，如图，

∵点B绕点A顺时针方向90°得到点C，

∴Rt△BAE≌Rt△ACD，

∴AD=BE=4，CD=AE=OE-OA=4-1=3，