【考点】反比例函数系数k的几何意义。

【分析】利用矩形面积S=|k|和k>0可确定出k的值，从而求得函数的解析式。再将点A的坐标代入求得m的值即可：

过图象上的点(x，y)的垂线段与x、y轴所所作构成的矩形面积是6可知：|k|=6。

又∵k>0，图象在第一、三象限内，∴反比例函数的系数k=6。

∴函数的表达式是 。

又∵点A(-3，m)在这个反比例函数的图象上，∴ 。

6. (江苏省常州市2008年2分)已知函数 的部分图象如图所示，则c=   ▲   ，当

x   ▲   时，y随x的增大而减小.

【答案】3;>1。

【考点】二次函数图象与系数的关系。

【分析】根据函数图象与x轴的交点，可求出c的值，根据图象可判断函数的增减性

∵二次函数 的图象过点(3，0)，∴-9+6+c=0，解得c=3。

由图象可知：x>1时，y随x的增大而减小。

7. (江苏省2009年3分)反比例函数 的图象在第   ▲   象限.

【答案】二、四。

【考点】反比例函数的性质。

【分析】根据反比例函数 的性质：当 时，图象分别位于第一、三象限;当 时，图象分别位于第二、四象限：∵反比例函数 的系数 ，∴图象两个分支分别位于第二、四象限。

10. (2012江苏常州2分)在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3，0)，⊙P是以点P为圆心，2为半径的圆。若一次函数 的图象过点A(-1，0)且与⊙P相切，则 的值为    ▲    。

【答案】 或 。

【考点】一次函数综合题，直线与圆相切的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，一次函数的性质。

【分析】如图，设一次函数 与y轴交于点C，与⊙P相切于点P。

则OA=1，OC=∣b∣，OP=3，BP=2，AP=4。

∴ 。

由△AOC∽△ABP，得 ，即 ，

解得 。

∴ 。

由图和一次函数的性质可知，k，b同号，

∴ 或 。

11. (2012江苏常州2分)如图，已知反比例函数 和 。点A在y轴的正半轴上，过点A作直线BC∥x轴，且分别与两个反比例函数的图象交于点B和C，连接OC、OB。若△BOC的面积为 ，AC：AB=2：3，则 =    ▲    ， =    ▲    。

【答案】2，-3。

【考点】反比例函数综合题，反比例函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】设点A(0，a)(∵点A在y轴的正半轴上，∴a>0)，则点B( )，点C( )。

∴OA= a，AB= (∵ )，AC= (∵ )，AB= 。

∵△BOC的面积为 ，∴ ，即 ①。

又∵AC：AB=2：3，∴ ，即 ②。

联立①②，解得 =2， =-3。

三、解答题

1. (2001江苏常州6分)已知二次函数 的图象如图所示：

(1) 这个二次函数的解析式是y=_____________________;

(2) 当x=____________时，y=3;

(3) 根据图象回答：当x_______________时，y>0。

【答案】解：(1) 。

(2)3或-1。

(3)x<0或x>2。

【考点】二次函数的图象，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】(1)由图知顶点为(1，-1)，那么可设顶点式 ，再把(0，0)代入求a得

0=a-1，即a=1。∴这个二次函数的解析式为 。

(2)把y=3代入抛物线解析式即可。当y=3时， =3，解得x=3或x=-1。

(3)函数值大于0，指x轴上方的函数图象所对应的x的取值：

由图可知，抛物线与x轴两交点为(0，0)，(2，0)，开口向上。所以当x<0或x>2时，y>0。

2. (江苏省常州市2002年6分)已知抛物线 的图象过原点，且开口向上,

(1)求m的值,并写出函数解析式;

(2)写出函数图象的顶点坐标及对称轴

【答案】解：(1)∵抛物线 的图象过原点，且开口向上，

∴ ，且 ，解得m=±2。

而m>1，∴m=2。

∴函数解析式为 。 (2)∵ ，

∴顶点坐标为(-1，-1)，对称轴为x=-1。

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质。

【分析】(1)直接根据抛物线的性质可知 ， 0，解之即可得到m=2，即 。(2)由 直接可写出顶点坐标及对称轴。

3. (江苏省常州市2002年6分)阅读函数图像，并根据你所获得的信息回答问题：

(1) 折线OAB表示某个实际总是的函数图象，请你编写一道符合该图象意义的应用题;

(2) 根据你给出的应用题分别指出x轴，y轴所表示的意义，并写出A，B两点的坐标;

(3) 求出图象AB的函数解析式，并注明自变量x的取值范围。

【答案】解：(1)张老师从家出发，乘车去学校，汽车的速度是每小时25千米，经过2小时到达，到校后因家中有事，立即骑车返回，5小时到家。

(2)x轴表示时间，单位为时，y轴表示离家的路程，单位是千米，则A(2，50)，B(7，0)。

(3)设过A，B的解析式为y=kx+b，则

，解得 。

∴图象AB的函数解析式为y=-10x+70(2≤x≤7)。

【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】应选取常见的量，比如横轴表示时间，纵轴表示离家的路程，这段函数大致可理解为到一个地方去，到后立即返回到家(答案不唯一)。

4. (江苏省常州市2002年8分)图1是棱长为a的小正方体，图2，图3由这样的小正方体摆放而成，按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第一层，第二层，。。。。。。第n层，第n层的小正方体的个数记为s，

解答下列问题：

(1)  按照要求填表：

n 1 2 3 4 ……

s 1 3 6  …

(2)   写出当n=10时，s=______________.

(1) 据上表中的数据，把s作为纵坐标，n作为横坐标，n作为横坐标，在平面直角坐标系中描出相应

的各点。

(2) 请你猜一猜上述各点会在某一个函数图象上吗?如果在某一函数的图象上，求出该函数的解析式。

【答案】解：(1)由题意得，

n 1 2 3 4 ……

s 1 3 6 10 …

(2)55.

(3)描点如下：

(4)猜想各点在二次函数的图象上。

设函数的解析式为 ，

由题意得 ，解之得 。

∴函数的解析式为 。

【考点】二次函数的应用，分类归纳(图形变化)。待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】(1)找规律：s=1+2+3+…+n= n(n+1)，∴当n=4时，s=10。

(2)当n=10时，s= ×10×(10+1)=55。

(3)描点。

(4)由(1)s = n(n+1)可得猜想，用待定系数法求之。

5. (江苏省常州市2003年6分)已知二次函数 的图象经过点(2，0)、(-1，6)。

(1)求二次函数的解析式;

(2)画出它的图象;

(3)不用列表，在下图中画出函数图象，观察图象写出y>0时，x的取值范围。

【答案】解：(1)∵ 的图象经过点(2，0)、(-1，6)，

∴   ，解得  。

∴二次函数的解析式为 。 (2)作图如下：

(3)由图可知：当y>0时，x>2或x<0。

【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质。

【分析】(1)将已知的两点坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值，求出二次函数的解析式。

(2)可根据(1)的抛物线解析式作图。

(3)根据函数的图象得出y>0时，x的取值范围。

6. (江苏省常州市2003年10分)设一次函数 的图象为直线 ， 与x轴、y轴分别交于点A、B。

(1)求tan∠BAO的值;

(2)直线 过点(-3，0)，若直线 、 与x轴围成的三角形和直线 、 与y轴围成的三角形相似，求直线 的解析式。

【答案】解：(1)在一次函数 中，令x=0，解得y=2;令y=0，解得x=-4。

∴A，B的坐标是(-4，0)，(0，2)。

∴OA=4，OB=2。

∴ 。

(2)设直线 与 相交于点M，与x轴相交于点P(-3，0)，与y轴相交于点N，则直线 、 与x轴围成的三角形为△APM，直线 、 与y轴围成的三角形为△NBM。

分三种情况讨论：

①当点N在y轴负半轴上，如图1，

当只有当∠AMP=∠NMB=900时，△APM∽△NBM。

此时，△AOB∽△NOP，得 ，

∵OP=3，OB=2，OA=4，∴ON=6。∴N(0，-6)。

设直线 的解析式为 ，则 ，

解得 。

∴直线 的解析式为 。