∴∠ABC=∠ACN.

(2)解：结论∠ABC=∠ACN仍成立.

理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形，

∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，

∴∠BAM=∠CAN，

∵在△BAM和△CAN中，

，

∴△BAM≌△CAN(SAS)，

∴∠ABC=∠ACN.

(3)解：∠ABC=∠ACN.[

理由如下：∵BA=BC，MA=MN，顶角∠ABC=∠AMN，

∴底角∠BAC=∠MAN，

∴△ABC∽△AMN，

∴ ，

又∵∠BAM=∠BAC-∠MAC，∠CAN=∠MAN-∠MAC，

∴∠BAM=∠CAN，

∴△BAM∽△CAN，

∴∠ABC=∠ACN.

11.(2013•咸宁)阅读理解：

如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与点A、点B重合)，分别连接ED，EC ，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点;如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点.解决问题：

(1)如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由;

(2)如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E;

拓展探究：

(3)如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处.若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系.

11.解：(1)点E是四边形ABCD的边AB上的相似点.

理由：∵∠A=55°，

∴∠ADE+∠DEA=125°.

∵∠DEC=55°，

∴∠BEC+∠DEA=125°.

∴∠ADE=∠BEC.(2分)

∵∠A=∠B，

∴△ADE∽△BEC.

∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点.

(2)作图如下：

(3)∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，

∴△AEM∽△BCE∽△ECM，

∴∠BCE=∠ECM=∠AEM.

由折叠可知：△ECM≌△DCM，

∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，

∴∠BCE= ∠BCD=30°，

∴BE= CE= AB.

在Rt△BCE中，tan∠BCE= =tan30°，

∴ ，

∴ .

12.(2013•南京)对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似;如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似.例如，如图①，△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA与A′B′C′A′环绕的方向相同，因此△ACB和△A′B′C′互为顺相似;如图②，△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA与A′B′C′A′环绕的方向相反，因此△ACB和△A′B′C′互为逆相似.

(1)根据图Ⅰ，图Ⅱ和图Ⅲ满足的条件.可得下列三对相似三角形：①△ADE与△ABC;②△GHO与△KFO;③△NQP与△NMQ;其中，互为顺相似的是 ;互为逆相似的是 .(填写所有符合要求的序号).

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(2)如图③，在锐角△ABC中，∠A<∠B<∠C，点P在△ABC的边上(不与点A，B，C重合).过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似.请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明理由.

12.解：(1)互为顺相似的是 ①;互为逆相似的是 ②③;

(2)根据点P在△ABC边上的位置分为以下三种情况：

第一种情况：如图①，点P在BC(不含点B、C)上，过点P只能画出2条截线PQ1、PQ2，分别使∠CPQ1=∠A，∠BPQ2=∠A，此时△PQ1C、△PBQ2都与△ABC互为逆相似.

第二种情况：如图②，点P在AC(不含点A、C)上，过点B作∠CBM=∠A，BM交AC于点M.

当点P在AM(不含点M)上时，过点P1只能画出1条截线P1Q，使∠AP1Q=∠ABC，此时△AP1Q与△ABC互为逆相似;

当点P在CM上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使∠AP2Q1=∠ABC，∠CP2Q2=∠ABC，此时△AP2Q1、△Q2P2C都与△ABC互为逆相似.

第三种情况：如图③，点P在AB(不含点A、B)上，过点C作∠BCD=∠A，∠ACE=∠B，CD、CE分别交AC于点D、E.

12.(2013•南京)对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似;如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似.例如，如图①，△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA与A′B′C′A′环绕的方向相同，因此△ACB和△A′B′C′互为顺相似;如图②，△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA与A′B′C′A′环绕的方向相反，因此△ACB和△A′B′C′互为逆相似.

(1)根据图Ⅰ，图Ⅱ和图Ⅲ满足的条件.可得下列三对相似三角形：①△ADE与△ABC;②△GHO与△KFO;③△NQP与△NMQ;其中，互为顺相似的是 ;互为逆相似的是 .(填写所有符合要求的序号).

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(2)如图③，在锐角△ABC中，∠A<∠B<∠C，点P在△ABC的边上(不与点A，B，C重合).过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似.请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明理由.

12.解：(1)互为顺相似的是 ①;互为逆相似的是 ②③;

(2)根据点P在△ABC边上的位置分为以下三种情况：

第一种情况：如图①，点P在BC(不含点B、C)上，过点P只能画出2条截线PQ1、PQ2，分别使∠CPQ1=∠A，∠BPQ2=∠A，此时△PQ1C、△PBQ2都与△ABC互为逆相似.

第二种情况：如图②，点P在AC(不含点A、C)上，过点B作∠CBM=∠A，BM交AC于点M.

当点P在AM(不含点M)上时，过点P1只能画出1条截线P1Q，使∠AP1Q=∠ABC，此时△AP1Q与△ABC互为逆相似;

当点P在CM上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使∠AP2Q1=∠ABC，∠CP2Q2=∠ABC，此时△AP2Q1、△Q2P2C都与△ABC互为逆相似.

第三种情况：如图③，点P在AB(不含点A、B)上，过点C作∠BCD=∠A，∠ACE=∠B，CD、CE分别交AC于点D、E.

当点P在AD(不含点D)上时，过点P只能画出1条截线P1Q，使∠AP1Q=∠ABC，此时△AQP1与△ABC互为逆相似;

当点P在DE上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使∠AP2Q1=∠ACB，∠BP2Q2=∠BCA，此时△AQ1P2、△Q2BP2

都与△ABC互为逆相似;

当点P在BE(不含点E)上时，过点P3只能画出1条截线P3Q′，使∠BP3Q′=∠BCA，此时△Q′BP3与△ABC互为逆相似.

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