二、教的视角
    教师对教材理解要体现教者本色,对教材内容按照教的视角进行重构.在《数学教与学研究手册》中,Elizabeth Fennema和Megan Loef Franke说道:“另一类与内容并不完全分离的知识是应该如何在教学中表达数学.这牵涉取出复杂的教材内容,并将它转化成学生能理解的表达形式,这种从数学到可理解的表达形式的转变正是区分数学教师与数学家的地方.”[5]“数学是由一大群高度有关联的抽象概念所组成的,如果教师不知道如何把这些抽象概念转换化为能使学习者把数学与他已经知道的联系起来的方式,那么他们就不可能理解地学会这一切.”[5]需注意,教师是“用教材教”而不是“教教材”.
    首先,教师要整体把握教材.浏览整套教材、整册教材,宏观了解其编写体例与说明、要求及教材的基本特点,形成对教材的宏观认识.清楚各个知识单元组块之间的安排次序,明确单元之间的前后联系,进一步明确单元内每一个概念与命题的地位与作用.反过来,再把每一个概念与命题放到整节课、整个单元、整章、整册书、整个学段进行通篇考虑:教材呈现的静态知识隐藏什么数学思想方法?蕴涵什么情感因素?是直线式还是螺旋式编排?知识衔接如何?关联度有多大?后续知识是对前面知识的加深还是其应用?等等.
    其次,教师要从细微之处入手.教师需要仔细推敲教材中的每一个字、每一句话、每一幅图、每一道例题、每一个练习、每一个备注.只有反复推敲打磨,才能有效确定重难点,毕竟有的新知识可能在练习中出现.然后对教材中的主题图、概念、命题、例题、习题进行教学法的加工,使之符合自己的风格,按照教学逻辑来设计教学,根据自己班级的具体情境进行更改,形成自己的特色.教材从内容呈现方式来看,是由自然语言、符号语言、图表语言混合编排的,这三种语言是如何转换的?三种语言承载的教材内容对培养学生担负何种职能?这些需要教师从教的角度思考,如例题中的插图是告诉学生一个情节、一些生活原型,是培养学生想象力的地方,切不可将插图变成文字,要让学生自由地发挥、理解、想象.
    三、学的视角
    学生的学习是建立在已有的知识技能、活动经验、生活背景等基础上的.奥苏贝尔认为,“影响学习最主要的因素是学生已知的内容,弄清了这一点之后,进行相应的教学.”[6]只有当学习的新内容与学生头脑中的原有的认知结构相联系,才会产生有意义的学习,从而产生新的认知结构,从学生学的视角来看待教材,务必要考虑学生的现有认知水平以及潜在的认知水平,教师需要换位思考,“把自己放在学生的位置上,他应当看到学生的情况,应当努力去理解学生心里正在想什么,然后提出一个问题或是指出一个步骤,而这正是学生自己原本应想到的.”[7]教材虽然在编写时考虑了学生的身心发展,但此一时彼一时,随着时代发展,教材未必能紧随改变.教师需考虑学生的需要、学生的基础,从学生的认知逻辑来挖掘教材,使其服务于学生的学习.“模拟”学生的学习过程,回顾以前自己学习时的困惑,站在学生的角度观察,概念呈现是否从学生的需要出发?出发点是否合适?是否符合自己班级学生实际?学生如何理解教材呈现的主题图(包括插图)、备注、例题、习题?有没有困难?如果有,困难在什么地方?这些困难是如何产生的?如何引导学生解决?解决路径是否唯一?等等.1994年,Sfard在第18届数学教育心理学大会上提出,如果要洞察学生的学习过程以及学习遇到的困难,历史无疑是一个极佳的视角.不仅如此,他还说:“这种相似性在同化或创造或学习新概念的特别关头是非常显着的,已经建构的知识要经受彻底的再组织,整个认识论基础也要重新建构.”此外还要依靠自己过去的教学经验,有效地但不露痕迹和自然地帮助学生,为此教师需要不止一遍地问同样的问题.
    基于学生,为了学生,有效促进学生发展始终是教师钻研教材的落脚点.钻研教材还需要具有发展性,具有一定的超前性,使教材内容真正成为促进学生个体自由和谐发展的载体、工具.教材内容是学生学会的,而不是教师教会的.教师唯有站在学生的角度思考教材、挖掘教材,才能更好地理解教材,提高教师与学生课堂对话的深度与有效性,才能真正提高自己的教学效率.教材承载的数学科学知识体系同中小学生认知能力发展的现有水平是矛盾的,年龄越小,知识越少,矛盾越尖锐.因此,钻研教材务必思考学生的心理发展水平,需要教师充分考虑学生的认知发展起点,使得“跳一跳,摘到桃子”.再者,教师面对的学生不同,其学习路径就不同,遇到的困难也就不同,需要教师根据学生群体的不同,采取灵活多样的处理方式.此外,还需要思考学生在学习相关知识过程中对态度、理想、情感和兴趣的习得,使其产生愉快的心理体验,这就是伴随学习或者附带学习.如对于学有余力的学生,增加例题、习题等难度;对于学习困难的学生,例题、习题等更侧重于基础性习题,多结合知识在学生日常生活中的应用,以激发学生对知识的兴趣等.