例2【解析】设 ，则f (x)的零点个数即y1与y2的交点个数，作出两函数图象如图.

由图知，y1与y2在区间(0, 1)内有一个交点，

当x = 4时，y1 = –2，y2 = 0，

当x = 8时，y1 = –3，y2 = – 4，

∴在(4, 8)内两曲线又有一个交点，又 和y2 = x – 4均为单调函数.

∴两曲线只有两个交点，

即函数 有两个零点.

例3【解析】(1)设函数 f (x) =2x3 – 6x2 +3，

∵f (–1) = –5<0，f (0) = 3>0，f (1) = –1<0，

f (2) = –5<0，f (3) = 3>0，函数y = f (x)的图象是连续的曲线，∴方程2x3 – 6x2 +3 = 0有3个实数解.

首先以区间[–1，0]为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：

端点或中点的横坐标

a0 = –1，b0 = 0

x0 = (–1+0) / 2 = – 0.5

x1 = (–1– 0.5) /2 = – 0.75

x2 = (– 0.75 – 0.5) / 2= – 0.625

x3 = (– 0.75 – 0.625) / 2= – 0.687 5

x4 = (– 0.687 5 – 0.625) / 2= – 0.656 25

x5 = (– 0.656 25 – 0.625) / 2= – 0.640 625

x6= (– 0.656 25 – 0.640 625) / 2

= – 0.648 437 5

x7= – 0.644 531 25

计算端点或中点的函数值 定区间

f (–1) = –5，f (0) =3 [–1，0]

f (x0) = f (– 0.5)  = 1.25>0 [–1，–0.5]

f (x1) = f (– 0.75)<0 [– 0.75，–0.5]

f (x2) = f (– 0.625)>0 [– 0.75，–0.625]

f (x3) = f (– 0.687 5)<0 [– 0.687 5，–0.625]

f (x4) = f (– 0.656 25)<0 [– 0.656 25，–0.625]

f (x5) = f (– 0.640 625)>0 [– 0.656 25，–0.640 625]

f (x6) = f (– 0.648 437 25)<0 [– 0.648 437 5，–0.640 625]

f (x7)<0 [– 0.644 531 25，–0.640 625]

由上表计算可知，区间[– 0.64453125，– 0.640625]的左、右两端点精确到0.01所取的近似值都是 – 0.64，所以– 0.64可以作为方程2x3 – 6x2 +3 = 0在区间[–1，0]上的一个近似解.

同理可求得方程2x3 – 6x2 +3 = 0在区间[0，1]和[2，3]内且精确到0.01的近似解分别为0.83，2.81.所以方程2x3 – 6x2 +3 = 0全部解的和为– 0.64 + 0.83 + 2.81 = 3.

(2)利用同样方法可求得方程2x3 – 6x2 +5 = 0和方程2x3 – 6x2 +8 = 0全部解的和也为3.

由于3只与未知数的系数比相等，即 – (– 6÷2) = 3，所以猜想：

一般地，对于一元三次方程ax3+ bx3 + cx +d = 0有三个根xl，x2，x3，则和为x1 +x2 +x3 = . 动手尝试练习提升综合应用知识的能力.

备选例题

例1  求函数y = x3 – 2x2 – x + 2的零点，并画出它的图象.

【解析】因为x3 – 2x – x + 2 = x2 (x – 2) – (x – 2) = (x – 2) (x2 – 1) = (x – 2) (x – 1) (x + 1)，

所以已知函数的零点为–1，1，2.

3个零点把x轴分成4个区间：

，[–1，1]，[1，2]， .

在这4个区间内，取x的一些值(包括零点)，列出这个函数的对应值表：

x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 …

y … – 4.38 0 1.88 2 1.13 0 –0.63 0 2.63 …

在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示.

例2 求函数f (x) = x3 + x2 – 2x – 2的一个为正实数的零点(误差不超过0.1).

【解析】由于f (1) = –2<0，f (2) = 6>0，可以取区间[1，2]作为计算的初始区间.

用二分法逐次计算，列表如下：

端点(中点)坐标 计算中点的函数值 取区间 |an – bn|

[1，2] 1

x0 = (1 + 2)/2 = 1.5 f(x0)=0.625>0 [1，1.5] 0.5

x1 = (1 + 1.5)/2 = 1.25 f(x1)= –0.984<0 [1.25，1.5] 0.25

x2=(1.25+1.5)/2 =1.375 f(x2)= –0.260<0 [1.375，1.5] 0.125

x3=(1.375+1.5)/2=1.438

由上表的计算可知，区间[1.375，1.5 ]的长度小于0.2，所以这个区间的中点x3 = 1.438可作为所求函数误差不超过0.1的一个正实数零点的近似值.

函数f (x) = x3 + x2 – 2x – 2的图象如图所示.

实际上还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值.

高一数学上册函数与方程教案就为大家介绍到这里，希望对你有所帮助。

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