所以1y1+1y2=y1+y2y1y2=12.

题型三　有关抛物线的综合问题

【例3】已知抛物线C：y =2x2，直线y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交 C于点N.

(1)求证：抛物线C在点N处的切线与AB平行;

(2)是否存在实数k使 • =0?若存在，求k的值;若不存在，说明理由.

【解析】(1)证明：如图，设A(x1,2x21)，B(x2,2x22)，

把y=kx+2代入y=2x2，得2x2-kx-2=0，

由韦达定理得x1+x2=k2，x1x2=-1，

所以xN=xM=x1+x22=k4，所以点N的坐标为(k4，k28).

设抛物线在点N处的切线l的方程为y-k28=m(x-k4)，

将y=2x2代入上式，得2x2-mx+mk4 -k28=0，

因为直线l与抛物线C相切，

所以Δ=m2-8(mk4-k28)=m2-2mk+k2=(m-k)2=0，

所以m=k，即l∥AB.

(2)假设存在实数k，使 • =0，则NA⊥NB，

又因为M是AB的中点，所以|MN|= |AB|.

由(1)知yM=12(y1+y2)=12(kx1+2+kx2+2)=12[k(x1+x2)+4]=12(k22+4)=k24+2.

因为MN⊥x轴，所以|MN|=|yM-yN|=k24+2-k28=k2+168.

又|AB|=1+k2•|x1-x2|=1+k2•(x1+x2)2-4x1x2

=1+k2•(k2)2-4×(-1)=12k2+1•k2+16.

所以k2+168=14k2+1•k2+16，解得k=±2.

即存在k=±2，使 • =0.

【点拨】直线与抛 物线的位置关系，一般要用到根与系数的关系;有关抛物线的弦长问题，要注意弦是否过焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|=x1+x2+p，若不过焦点，则必须使用一般弦长公式.

【变式训练3】已知P是抛物线y2=2x上的一个动点，过点P作圆(x-3)2+y2=1的切线，切点分别为M、N，则|MN|的最小值是　　　　.

【解析】455.

总结提高

1.在抛物线定义中，焦点F不在准线l上，这是一个重要的隐含条件，若F在l上，则抛物线退化为一条直线.

2.掌握抛物线本身固有的一些性质：(1)顶点、焦点在对称轴上;(2)准线垂直于对称轴;(3)焦点到准线的距离为p;(4)过焦点垂直于对称轴的弦(通径)长为2p.

3.抛物线的标准方程有四种形式，要掌握抛物线的方程与图形的对应关系.求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线的类型，可采用待定系数法.

4.抛物线的几何性质，只要与椭圆、双曲线加以对照，很容易把握.但由于抛物线的离心率为1，所以抛物线的焦点有很多重要性质，而且应用广泛，例如：已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有下列性质：|AB|=x1+x2+p或|AB|=2psin2α(α为AB的倾斜角)，y1y2=-p2，x1x2=p24等.

9.4　直线与圆锥曲线的位置关系

典例精析

题型一　直线与圆锥曲线交点问题

【例1】若曲线y2=ax与直线y=(a+1)x-1恰有一个公共点，求实数a的值.

【解析】联立方程组

(1)当a=0时，方程组恰有一组解为

(2)当a≠0时，消去x得a+1ay2-y-1=0，

①若a+1a=0，即a=-1，方程变为一元一次方程-y-1=0，

方程组恰有一组解

②若a+1a≠0，即a≠-1，令Δ=0，即1+4(a+1)a=0，解得a= -45，这时直线与曲线相切，只有一个公共点.

综上所述，a=0或a=-1或a=-45.

【点拨】本题设计了一个思维“陷阱”，即审题中误认为a≠0，解答过程中的失误就是不讨论二次项系数 =0，即a=-1的可能性，从而漏掉两解.本题用代数方法解完后，应从几何上验证一下：①当a=0时，曲线y2=ax，即直线y=0，此时与已知直线y=x-1 恰有交点(1,0);②当a=-1时，直线y=-1与抛物线的对称轴平行，恰有一个交点(代数特征是消元后得到的一元二次方程中二次项系数为零);③当a=-45时直线与抛物线相切.

【变式训练1】若直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有且只有一个公共点，则实数k的取值范围为(　　)

A.{1，-1，52，-52} B.(-∞，-52]∪[52，+∞)

C.(-∞，-1]∪[1，+∞) D.(-∞，-1)∪[52，+∞)

【解析】由 ⇒(1-k2)x2-2kx-5=0，

⇒k=±52，结合直线过定点(0，-1)，且渐近线斜率为±1，可知答案为A.

题型二　直线与圆锥曲线的相交弦问题

【例2】(2010辽宁)设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°， =2 .

(1)求椭圆C的离心率;

(2)如果|AB|=154，求椭圆C的方程.

【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y1<0，y2>0.

(1)直线l的方程为y=3(x-c)，其中c=a2-b2.

联立

得(3a2+b2)y2+23b2cy-3b4=0.

解得y1=-3b2(c+2a)3a2+b2，y2=-3b2(c-2a)3a2+b2.

因为 =2 ，所以-y1=2y2，即3b2(c+2a)3a2+b2=2•-3b2(c-2a)3a2+b2.

解得离心率e=ca=23.

(2)因为|AB|=1+13|y2-y1|，所以23•43ab23a2+b2=154.

由ca=23得b=53a，所以54a=154，即a=3，b=5.

所以椭圆的方程为x29+y25=1.

【点拨】本题考查直线与圆锥曲线相交及相交弦的弦长问题，以及用待定系数法求椭圆方程.

【变式训练2】椭圆ax2+ by2=1与直线y=1-x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为32，则ab的值为　　　.

【解析】设直线与椭圆交于A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，弦中点坐标为(x0，y0)，代入椭圆方程两式相减得a(x1-x2)(x1+x2)+b(y1-y2)(y1+y2)=0⇒

2ax0+2by0y1-y2x1-x2=0⇒ax0-by0=0.

故ab=y0x0=32.

题型三　对称问题

【例3】在抛物线y2=4x上存在两个不同的点关于直线l：y=kx+3对称，求k的取值范围.

【解析】设A(x1，y1)、B(x2、y2)是抛物线上关于直线l对称的两点，由题意知k≠0.

设直线AB的方程为y=-1kx+b，

联立 消去x，得14ky2+y-b=0，

由题意有Δ=12+4•14k•b>0，即bk+1>0.(*)

且y1+y2=-4k.又y1+y22=-1k•x1+x22+b.所以x1+x22=k(2k+b).

故AB的中点为E(k(2k+b)，-2k).

因为l过E，所以-2k=k2(2k+b)+3，即b=-2k-3k2-2k.

代入(*)式，得-2k-3k3-2+1>0⇔k3+2k+3k3<0

⇔k(k+1)(k2-k+3)<0⇔-1

【点拨】(1)本题的关键是对称条件的转化.A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线l对称，则满足直线l与AB垂 直，且线段AB的中点坐标满足l的方程;

(2)对于圆锥曲线上存在两点关于某一直线对称，求有关参数的范围问题，利用对称条件求出过这两点的直线方程，利用判别式大于零建立不等式求解;或者用参数表示弦中点的坐标，利用中点在曲线内部的条件建立不等式求参数的取值范围.

【变式训练3】已知抛物线y=-x2+3上存在关于x+y=0对称的两点A，B，则|AB|等于(　　)

A.3 B.4 C.32 D.42

【解析】设AB方程：y=x+b，代入y=-x2+3，得x2+x+b-3=0，

所以xA+xB=-1，故AB中点为(-12，-12+b).

它又在x+y=0上，所以b=1，所以|AB|=32，故选C.

总结提高

1.本节内容的重点是研究直线与圆锥曲线位置关系的判别式方法及弦中点问题的处理方法.

2.直线与圆锥曲线的位置关系的研究可以转化为相应方程组的解的讨论，即联立方程组

通过消去y(也可以消去x)得到x的方程ax2+bx+c=0进行讨论.这时要注意考虑a=0和a≠0两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况除a≠0，Δ=0外，直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行时，都只有一个交点(此时直线与双曲线、抛物线属相交情况).由此可见，直线与圆锥曲线只有一个公共点，并不是直线与圆锥曲线相切的充要条件.

3.弦中点问题的处理既可以用判别式法，也可以用点差法;使用点差法时，要特别注意验证“相交”的情形.

9.5　圆锥曲线综合问题

典例精析

题型一　求轨迹方程

【例1】已知抛物线的方程为x2=2y，F是抛物线的焦点，过点F的直线l与抛物线交于A、B两点，分别过点A、B作抛物线的两条切线l1和l2，记l1和l2交于点M.

(1)求证：l1⊥l2;

(2)求点M的轨迹方程.

【解析】(1)依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+12.

联立 消去y整理得x2-2kx-1=0.设A的坐标为(x1，y1)，B的坐标为(x2，y2)，则有x1x2=-1，将抛物线方程改写为y=12x2，求导得y′=x.

所以过点A的切线l1的斜率是k1=x1，过点B的切线l2的斜率是k2=x2.

因为k1k2 =x1x2=-1，所以l1⊥l2.

(2)直线l1的方程为y-y1=k1(x-x1)，即y-x212=x1(x-x1).

同理直线l2的方程为y-x222=x2(x-x2).

联立这两个方程消去y得x212-x222=x2(x-x2)-x1(x-x1)，

整理得(x1-x2)(x-x1+x22)=0，

注意到x1≠x2，所以x=x1+x22.

此时y=x212+x1(x-x1)=x212+x1(x1+x22-x1)=x1x22=-12.

由(1)知x1+x2=2k，所以x=x1+x22=k∈R.

所以点M的轨迹方程是y=-12.

【点拨】直接法是求轨迹方程最重要的方法之一，本题用的就是直接法.要注意“求轨迹方程”和“求轨迹”是两个不同概念，“求轨迹”除了首先要求我们求出方程，还要说明方程轨迹的形状，这就需要我们对各种基本曲线方程和它的形态的对应关系了如指掌.

【变式训练1】已知△ABC的顶点为A(-5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是(　　)

A.x29-y216=1 B.x216-y29=1

C.x29-y216=1(x>3) D.x216-y29=1(x>4)

【解析】如图，|AD|=|AE|=8，|BF|=|BE|=2，|CD|=|CF|，

所以|CA|-|CB|=8-2=6，

根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x29-y216=1(x>3)，故选C.

题型二　圆锥曲线的有关最值

【例2】已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1.当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值.

【解析】因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.

于是可设直线AC的方程为y=-x+n.

由 得4x2-6nx+3n2-4=0.

因为A，C在椭圆上，所以Δ=-12n2+64>0，解得-433

设A，C两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1+x2=3n2，x1x2=3n2-44，

y1=-x1+n，y2=-x2+n. 所以y1+y2=n2.

因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC=60°，所以|AB|=|BC|=|CA|.

所以菱形ABCD的面积S=32|AC|2.

又|AC|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=-3n2+162，所以S=34(-3n2+16) (-433

所以当n=0时，菱形ABCD的面积取得最大值43.

【点拨】建立“目标函数”，借助代数方法求最值，要特别注意自变量的取值范围.在考试中很多考生没有利用判别式求出n的取值范围，虽然也能得出答案，但是得分损失不少.

【变式训练2】已知抛物线y=x2-1上有一定点B(-1,0)和两个动点P、Q，若BP⊥PQ，则点Q横坐标的取值范围是　　　　　　.

【解析】如图，B(-1,0)，设P(xP，x2P-1)，Q(xQ，x2Q-1)，

由kBP•kPQ=-1，得x2P-1xP+1•x2Q-x2PxQ-xP=-1.

所以xQ=-xP-1xP-1=-(xP-1)-1xP-1-1.

因为|xP-1+1xP-1|≥2，所以xQ≥1或xQ≤-3.

题型三　求参数的取值范围及最值的综合题

【例3】(2010浙江)已知m>1，直线l：x-my-m22=0，椭圆C：x2m2+y2=1，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点.

(1)当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程;

(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G，H.若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.

【解析】(1)因为直线l：x-my-m22=0经过F2(m2-1，0)，

所以m2-1=m22，解得m2=2，

又因为m>1，所以m=2.

故直线l的方程为x-2y-1=0.

(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由 消去x得2y2+my+m24-1=0，

则由Δ=m2-8(m24-1)=-m2+8>0知m2<8，

且有y1+y2=-m2，y1y2=m28-12.

由于F1(-c,0)，F2(c,0)，故O为F1F2的中点，

由 =2 ， =2 ，得G(x13，y13)，H(x23，y23)，

|GH|2=(x1-x2)29+(y1-y2)29.

设M是GH的中点，则M(x1+x26，y1+y26)，

由题意可知，2|MO|<|GH|，即4[(x1+x26)2+(y1+y26)2]<(x1-x2)29+(y1-y2)29，

即x1x2+y1y2<0.

而x1x2+y1y2=(my1+m22)(my2+m22)+y1y2=(m2+1)(m28-12).

所以m28-12<0，即m2<4.

又因为m>1且Δ>0，所以1

所以m的取值范围是(1,2).

【点拨】本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆、点与圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.

【变式训练3】若双曲线x2-ay2=1的右支上存在三点A、B、C使△ABC为正三角形，其中一个顶点A与双曲线右顶点重合，则a的取值范围为　　　.

【解析】设B(m，m2-1a)，则C(m，-m2-1a)(m>1)，

又A(1,0)，由AB=BC得(m-1)2+m2-1a=(2m2-1a)2，

所以a=3m+1m-1=3(1+2m-1)>3，即a的取值范围为(3，+∞).

总结提高

1.求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标法”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义、性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法、待定系数法.

2.最值问题的代数解法，是从动态角度去研究解析几何中的数学问题的主要内容，其解法是设变量、建立目标函数、转化为求函数的最值.其中，自变量的取值范围由直线和圆锥曲线的位置关系(即判别式与0的关系)确定.

3.范围问题，主要是根据条件，建立含有参变量的函数关系式或不等式，然后确定参数的取值范围.其解法主要有运用圆锥曲线上点的坐标的取值范围，运用求函数的值域、最值以及二次方程实根的分布等知识.

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