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高三理科数学复习教案:圆锥曲线与方程总复习教案

编辑:sx_xingt

2013-04-03

【摘要】欢迎来到精品学习网高三数学教案栏目,教案逻辑思路清晰,符合认识规律,培养学生自主学习习惯和能力。因此小编在此为您编辑了此文:“高三理科数学复习教案:圆锥曲线与方程总复习教案”希望能为您的提供到帮助。

本文题目:高三理科数学复习教案:圆锥曲线与方程总复习教案

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考试要求 重难点击 命题展望

1.了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;

2.掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质;

3.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质;

4.了解圆锥曲线的简单应用;

5.理解数形结合的思想;

6.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.   本章重点:1.椭圆、双曲线、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质;2.直线与圆锥曲线的位置关系问题;3.求曲线的方程或曲线的轨迹;4.数形结合的思想,方程的思想,函数的思想,坐标法.

本章难点:1.对圆锥曲线的定义及性质的理解和应用;2.直线与圆锥曲线的位置关系问题;3.曲线与方程的对应关系.   圆锥曲线与函数、方程、不等式、三角形、平面向量等知识结合是高考常考题型.极有可能以一小一大的形式出现,小题主要考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、基本技能和基本方法运用;解答题常作为数学高考的把关题或压轴题,综合考查学生在数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等方面的能力.

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9.1 椭 圆

典例精析

题型一 求椭圆的标准方程

【例1】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为453和

253,过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆的方程.

【解析】由椭圆的定义知,2a=453+253=25,故a=5,

由勾股定理得,(453)2-(253)2=4c2,所以c2=53,b2=a2-c2=103,

故所求方程为x25+3y210=1或3x210+y25=1.

【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时,常用待定系数法,但是当焦点所在坐标轴不确定时,需要考虑两种情形,有时也可设椭圆的统一方程形式:mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n);

(2)在求椭圆中的a、b、c时,经常用到椭圆的定义及解三角形的知识.

【变式训练1】已知椭圆C1的中心在原点、焦点在x轴上,抛物线C2的顶点在原点、焦点在x轴上.小明从曲线C1,C2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点),并记录其坐标(x,y).由于记录失误,使得其中恰有一个点既不在椭圆C1上,也不在抛物线C2上.小明的记录如下:

据此,可推断椭圆C1的方程为     .

【解析】方法一:先将题目中的点描出来,如图,A(-2,2),B(-2,0),C(0,6),D(2,-22),E(22,2),F(3,-23).

通过观察可知道点F,O,D可能是抛物线上的点.而A,C,E是椭圆上的点,这时正好点B既不在椭圆上,也不在抛物线上.

显然半焦距b=6,则不妨设椭圆的方程是x2m+y26=1,则将点

A(-2,2)代入可得m=12,故该椭圆的方程是x212+y26=1.

方法二:欲求椭圆的解析式,我们应先求出抛物线的解析式,因为抛物线的解析式形式比椭圆简单一些.

不妨设有两点y21=2px1,①y22=2px2,②y21y22=x1x2,

则可知B(-2,0),C(0,6)不是抛物线上的点.

而D(2,-22),F(3,-23)正好符合.

又因为椭圆的交点在x轴上,故B(-2,0),C(0,6)不 可能同时出现.故选用A(-2,2),E(22,2)这两个点代入,可得椭圆的方程是x212+y26=1.

题型二 椭圆的几何性质的运用

【例2】已知F1、F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°.

(1)求椭圆离心率的范围;

(2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.

【解析】(1)设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),|PF1|=m,|PF2|=n,在△F1PF2中,

由余弦定理可知4c2=m2+n2-2mncos 60°,

因为m+n=2a,所以m2+n2=(m+n)2-2mn=4a2-2mn,

所以4c2=4a2-3mn,即3mn=4a2-4c2.

又mn≤(m+n2)2=a2(当且仅当m=n时取等号),

所以4a2-4c2≤3a2,所以c2a2≥14,

即e≥12,所以e的取值范围是[12,1).

(2)由(1)知mn=43b2,所以 =12mnsin 60°=33b2,

即△F1PF2的面积只与椭圆的短轴 长有关.

【点拨】椭圆中△F1PF2往往称为焦点三角形,求解有关问题时,要注意正、余弦定理,面积公式的使用;求范围时,要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用,如|PF1|•|PF2|≤(|PF1|+|PF2|2)2,|PF1|≥a-c.

【变式训练2】已知P是椭圆x225+y29=1上的一点,Q,R分别是圆(x+4)2+y2=14和圆

(x-4)2+y2=14上的点,则|PQ|+|PR|的最小值是    .

【解析】设F1,F2为椭圆左、右焦点,则F1,F2分别为两已知圆的圆心,

则|PQ|+|PR|≥(|PF1|-12)+(|PF2|-12)=|PF1|+|PF2|-1=9.

所以|PQ|+|PR|的最小值为9.

题型三 有关椭圆的综合问题

【例3】(2010全国新课标)设F1,F2分别是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1斜率为1的直线l与E相交于A,B两点,且 |AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列.

(1)求E的离心率;

(2)设点P(0,-1)满足|PA|=|PB|,求E的方程.

【解析】(1)由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a,

又2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|=43a.

l的方程为y=x+c,其中c=a2-b2.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点坐标满足方程组

化简得(a2+b2)x2+2a2cx+a2(c2-b2)=0,

则x1+x2=-2a2ca2+b2,x1x2=a2(c2-b2)a2+b2.

因为直线AB斜率为1,所以|AB|=2|x2-x1|=2[(x1+x2)2-4x1x2],

即43a=4ab2a2+b2,故a2=2b2,

所以E的离心率e=ca=a2-b2a=22.

(2 )设AB的中点为N(x0,y0),由(1)知x0=x1+x22=-a2ca2+b2=-23c,y0=x0+c=c3.

由|PA|=|PB|⇒kPN=-1,即y0+1x0=-1⇒c=3.

从而a=32,b=3,故E的方程为x218+y29=1.

【变式训练3】已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为e,两焦点为F1,F2,抛物线以F1为顶点,F2为焦点,P为两曲线的一个交点,若|PF1||PF2|=e,则e的值是(  )

A.32 B.33 C.22 D.63

【解析】设F1(-c,0),F2(c,0),P(x0,y0),则椭圆左准线x=-a2c,抛物线准线为x=

-3c,x0-(-a2c)=x0-(-3c)⇒c2a2=13⇒e=33.故选B.

总结提高

1.椭圆的标准方程有两种形式,其结构简单,形式对称且系数的几何意义明确,在解题时要防止遗漏.确定椭圆需要三个条件,要确定焦点在哪条坐标轴上(即定位),还要确定a、 b的值(即定量),若定位条件不足应分类讨论,或设方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)求解.

2.充分利用定义解题,一方面,会根据定义判定动点的轨迹是椭圆,另一方面,会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数进行计算推理.

3.焦点三角形包含着很多关系,解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条件入手,且不可顾此失彼,另外一定要注意椭圆离心率的范围.

9.2 双曲线

典例精析

题型一 双曲线的定义与标准方程

【例1】已知动圆E与圆A:(x+4)2+y2=2外切,与圆B:( x-4)2+y2=2内切,求动圆圆心E的轨迹方程.

【解析】设动圆E的半径为r,则由已知|AE|=r+2,|BE|=r-2,

所以|AE|-|BE|=22,又A(-4,0),B(4,0),所以|AB|=8,22<|AB|.

根据双曲线定义知,点E的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支.

因为a=2,c=4,所以b2=c2-a2=14,

故点E的轨迹方程是x22-y214=1(x≥2).

【点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出E点满足的几何条件,结合双曲线定义求解,要特别注意轨迹是否为双曲线的两支.

【变式训练1】P为双曲线x29-y216=1的右支上一点,M,N分别是圆(x+5)2+y2=4和

(x-5)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为(  )

A.6 B.7 C.8 D.9

【解析】选D.

题型二 双曲线几何性质的运用

【例2】双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A,x轴上有一点Q(2a,0),若C上存在一点P,使 =0,求此双曲线离心率的取值范围.

【解析】设P(x,y),则由 =0,得AP⊥PQ,则P在以AQ为直径的圆上,

即 (x-3a2)2+y2=(a2)2,①

又P在双曲线上,得x2a2-y2b2=1,②

由①②消去y,得(a2+b2)x2-3a3x+2a4-a2b2=0,

即[(a2+b2)x-(2a3-ab2)](x-a)=0,

当x=a时,P与A重合,不符合题意,舍去;

当x=2a3-ab2a2+b2时,满足题意的点P存在,需x=2a3-ab2a2+b2>a,

化简得a2>2b2,即3a2>2c2,ca<62,

所以离心率的取值范围是(1,62).

【点拨】根据双曲线上的点的范围或者焦半径的最小值建立不等式,是求离心率的取值范围的常用方法.

【变式训练2】设离心率为e的双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,直线l过焦点F,且斜率为k,则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是(  )

A.k2-e2>1 B.k2-e2<1

C.e2-k2>1 D.e2-k2<1

【解析】由双曲线的图象和渐近线的几何意义,可知直线的斜率k只需满足-ba

题型三 有关双曲线的综合问题

【例3】(2010广东)已知双曲线x22-y2=1的左、右顶点分别为A1、A2,点P(x1,y1),Q(x1,-y1)是双曲线上不同的两个动点.

(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程;

(2)若过点H(0,h)(h>1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点,且l1⊥l2,求h的值.

【解析】(1)由题意知|x1|>2,A1(-2,0),A2(2,0),则有

直线A1P的方程为y=y1x1+2(x+2),①

直线A2Q的方程为y=-y1x1-2(x-2).②

方法一:联立①②解得交点坐标为x=2x1,y=2y1x1,即x1=2x,y1=2yx,③

则x≠0,|x|<2.

而点P(x1,y1)在双曲线x22-y2=1上,所以x212-y21=1.

将③代入上式,整理得所求轨迹E的方程为x22+y2=1,x≠0且x≠±2.

方法二:设点M(x,y)是A1P与A2Q的交点,①×②得y2=-y21x21-2(x2-2).③

又点P(x1,y1)在双曲线上,因此x212-y21=1,即y21=x212-1.

代入③式整理得x22+y2=1.

因为点P,Q是双曲线上的不同两点,所以它们与点A1,A2均不重合.故点A1和A2均不在轨迹E上.过点(0,1)及A2(2,0)的直线l的方程为x+2y-2=0.

解方程组 得x=2,y=0.所以直线l与双曲线只有唯一交点A2.

故轨迹E不过点(0,1).同理轨迹E也不过点(0,-1).

综上分析,轨迹E的方程为x22+y2=1,x≠0且x≠±2.

(2)设过点H(0,h)的直线为y=kx+h(h>1),

联立x22+y2=1得(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0.

令Δ=16k2h2-4(1+2k2)(2h2-2)=0,得h2-1-2k2=0,

解得k1=h2-12,k2=-h2-12.

由于l1⊥l2,则k1k2=-h2-12=-1,故h=3.

过点A1,A2分别引直线l1,l2通过y轴上的点H(0,h),且使l1⊥l2,因此A1H⊥A2H,由h2×(-h2)=-1,得h=2.

此时,l1,l2的方程分别为y=x+2与y=-x+2,

它们与轨迹E分别仅有一个交点(-23,223)与(23,223).

所以,符合条件的h的值为3或2.

【变式训练3】双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,过F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点,若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形,则e2等于(  )

A.1+22 B.3+22

C.4-22 D.5-22

【解析】本题考查双曲线定义的应用及基本量的求解.

据题意设|AF1|=x,则|AB|=x,|BF1|=2x.

由双曲线定义有|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a

⇒(|AF1|+|BF1|)-(|AF2|+|BF2|)=(2+1)x-x=4a,即x=22a=|AF1|.

故在Rt△AF1F2中可求得|AF2|=|F1F2|2-|AF1|2=4c2-8a2.

又由定义可得|AF2|=|AF1|-2a=22a-2a,即4c2-8a2=22-2a,

两边平方整理得c2=a2(5-22)⇒c2a2=e2=5-22,故选D.

总结提高

1.要与椭圆类比来理解、掌握双曲线的定义、标准方程和几何性质,但应特别注意不同点,如a,b,c的关系、渐近线等.

2.要深刻理解双曲线的定义,注意其中的隐含条件.当||PF1|-|PF2||=2a<|F1F2|时,P的轨迹是双曲线;当||PF1|-|PF2||=2a=|F1F2|时,P的轨迹是以F1或F2为端点的射线;当

||PF1|-|PF2||=2a>|F1F2|时,P无轨迹.

3.双曲线是具有渐近线的曲线,画双曲线草图时,一般先画出渐近线,要掌握以下两个问题:

(1)已知双曲线方程,求它的渐近线;

(2)求已知渐近线的双曲线的方程.如已知双曲线渐近线y=±bax,可将双曲线方程设为x2a2-y2b2=λ(λ≠0),再利用其他条件确定λ的值,求法的实质是待定系数法.

9.3 抛物线

典例精析

题型一 抛物线定义的运用

【例1】根据下列条件,求抛物线的标准方程.

(1)抛物线过点P(2,-4);

(2)抛物线焦点F在x轴上,直线y=-3与抛物线交于点A,|AF|=5.

【解析】(1)设方程为y2=mx或x2=ny.

将点P坐标代入得y2=8x或x2=-y.

(2)设A(m,-3),所求焦点在x轴上的抛物线为y2=2px(p≠0),

由定义得5=|AF|=|m+p2|,又(-3)2=2pm,所以p=±1或±9,

所求方程为y2=±2x或y2=±18x.

【变式训练1】已知P是抛物线y2=2x上的一点,另一点A(a,0) (a>0)满足|P A|=d,试求d的最小值.

【解析】设P(x0,y0) (x0≥0),则y20=2x0,

所以d=|PA|=(x0-a)2+y20=(x0-a)2+2x0=[x0+(1-a)]2+2a-1.

因为a>0,x0≥0,

所以当0

当a≥1时,此时有x0=a-1,dmin=2a-1.

题型二 直线与抛物线位置讨论

【例2】(2010湖北)已知一条曲线C在y轴右侧,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.

(1)求曲线C的方程;

(2)是否存在正数m,对 于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有 <0?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.

【解析】(1)设P(x,y)是曲线C上任意一点,那么点P(x,y)满足:

(x-1)2+y2-x=1(x>0).

化简得y2=4x(x>0).

(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).

设l的方程为x=ty+m,由 得y2-4ty-4m=0,

Δ=16(t2+m)>0,于是 ①

又 =(x1-1,y1), =(x2-1,y2).

<0⇔(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2<0.②

又x=y24,于是不等式②等价于 y214•y224+y1y2-(y214+y224)+1<0

⇔(y1y2)216+y1y2-14[(y1+y2)2-2y1y2]+1<0.③

由①式,不等式③等价于m2-6m+1<4t2.④

对任意实数t,4t2的最小值为0,所以不等式④对于一切t成立等价于m2-6m+1<0,即3-22

由此可知,存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有 • <0,且m的取值范围是(3-22,3+22).

【变式训练2】已知抛物线y2=4x的一条弦AB,A(x1,y1),B(x2,y2),AB所在直线与y轴的交点坐标为(0,2),则1y1+1y2=   .

【解析】 ⇒y2-4my+8m=0,

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