因为直线 交椭圆 于 、 两点，

所以>0，即 ，

设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)，

则 ，

由方程组 ，消y得方程(k2k1)xp，

又因为 ，所以 ，

故E为CD的中点;

(3) 因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上，所以点F在椭圆Γ内，可以求得直线OF的斜率k2，由 知F为P1P2的中点，根据(2)可得直线l的斜率 ，从而得直线l的方程.

，直线OF的斜率 ，直线l的斜率 ，

解方程组 ，消y：x22x480，解得P1(6,4)、P2(8,3).

18、(2010全国卷2理数)(21)(本小题满分12分)

己知斜率为1的直线l与双曲线C： 相交于B、D两点，且BD的中点为 .

(Ⅰ)求C的离心率;

(Ⅱ)设C的右顶点为A，右焦点为F， ，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切.

19、(2010安徽文数)椭圆 经过点 ，对称轴为坐标轴，

焦点 在 轴上，离心率 。

(Ⅰ)求椭圆 的方程;

(Ⅱ)求 的角平分线所在直线的方程。

20、(2010全国卷1理数)(21)(本小题满分12分)

已知抛物线 的焦点为F，过点 的直线 与 相交于 、 两点，点A关于 轴的对称点为D.

(Ⅰ)证明：点F在直线BD上;

(Ⅱ)设 ，求 的内切圆M的方程 .

21、(2010江苏卷)在平面直角坐标系 中，如图，已知椭圆 的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T( )的直线TA、TB与椭圆分别交于点M 、 ，其中m>0, 。

(1)设动点P满足 ,求点P的轨迹;

(2)设 ，求点T的坐标;

(3)设 ,求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)。

22、在直角坐标系 中，点M到点 的距离之和是4，点M的轨迹是C与x轴的负半轴交于点A，不过点A的直线 与轨迹C交于不同的两点P和Q.

(I)求轨迹C的方程;

(II)当 时，求k与b的关系，并证明直线 过 定点.

解：(1) 的距离之和是4，

的轨迹C是长轴为4，焦点在x轴上焦中为 的椭圆，

其方程为 …………3分

(2)将 ，代入曲线C的方程，

整理得

…………5分

因为直线 与曲线C交于不同的两点P和Q，

所以 ①

设 ，则

② ………… 7分

且 ③

显然，曲线C与x轴的负半轴交于点A(-2，0)，

所以

由

将②、③代入上式，整理得 …………10分

所以

即 经检验，都符合条件①

当b=2k时，直线 的方程为

显然，此时直线 经过定点(-2，0)点.

即直线 经过点A，与题意不符.

当 时，直线 的方程为

显然，此时直线 经过定点 点，且不过点A.

综上，k与b的关系是：

且直线 经过定点 点 …………13分

23、(北京市朝阳区2010年4月高三年级第二学期统一考试理科)(本小题满分13分)

已知中心在原点，焦点在 轴上的椭圆C的离心率为 ，且经过点 ，过点P(2，1)的直线 与椭圆C在第一象限相切于点M .

(1)求椭圆C的方程;

(2)求直线 的方程以及点M的坐标;

(3))是否存过点P的直线 与椭圆C相交于不同的两点A、B，满足 ?若存在，求出直线l1的方程;若不存在，请说明理由.

解(Ⅰ)设椭圆C的方程为 ，由题意得

解得 ，故椭圆C的方程为 .……………………4分

(Ⅱ)因为过点P(2，1)的直线l与椭圆在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可调直线l的议程为

由 得 . ①

因为直线 与椭圆 相切，所以

整理 ，得 解得 [

所以直线l方程为

将 代入①式，可以解得M点横坐标为1，故切点M坐标为 …………9分

(Ⅲ)若存在直线l1满足条件，的方程为 ，代入椭圆C的方程得

因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为

所以

所以 .

又 ，

因为 即 ，

所以 .

即

所以 ，解得

因为A，B为不同的两点，所以 .

于是存在直线 1满足条件，其方程为 ………………………………13分

24、直线 的右支交于不同的两点A、B.

(I)求实数k的取值范围;

(II)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在，求出k的值;若不存在，说明理由.

答案：.解：(Ⅰ)将直线

……①

依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故

(Ⅱ)设A、B两点的坐标分别为 、 ，则由①式得

……②

假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0).

则由FA⊥FB得：

整理得

……③

把②式及 代入③式化简得

解得

可知 使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.

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