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高三数学教案:高考数学抛物线复习教案

编辑:sx_xingt

2013-04-03

【摘要】欢迎来到精品学习网高三数学教案栏目,教案逻辑思路清晰,符合认识规律,培养学生自主学习习惯和能力。因此小编在此为您编辑了此文:“高三数学教案:高考数学抛物线复习教案”希望能为您的提供到帮助。

本文题目:高三数学教案:高考数学抛物线复习教案

1 抛物线的定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.

2 抛物线的图形和性质:

①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

②焦准距:

③通径:过焦点垂直于轴的弦长为 。

④顶点平分焦点到准线的垂线段: 。

⑤焦半径为半径的圆:以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F、准线是公切线。

⑥焦半径为直径的圆:以焦半径 FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。

⑦焦点弦为直径的圆:以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。

3 抛物线标准方程的四种形式:

4 抛物线 的图像和性质:

①焦点坐标是: ,

②准线方程是: 。

③焦半径公式:若点 是抛物线 上一点,则该点到抛物线的焦点的距离(称为焦半径)是: ,

④焦点弦长公式:过焦点弦长

⑤抛物线 上的动点可设为P 或 或P

5 一般情况归纳:

方程 图象 焦点 准线 定义特征

y2=kx k>0时开口向右 (k/4,0) x= ─k/4 到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x= ─k/4的距离

k<0时开口向左

x2=ky k>0时开口向上 (0,k/4) y= ─k/4 到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y= ─k/4的距离

k<0时开口向下

抛物线的定义:

例1:点M与点F (-4,0)的距离比它到直线l:x-6=0的距离4.2,求点M的轨迹方程.

分析:点M到点F的距离与到直线x=4的距离恰好相等,符合抛物线定义.

答案:y2=-16x

例2:斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线相交于点A、B,求线段A、B的长.

分析:这是灵活运用抛物线定义的题目.基本思路是:把求弦长AB转化为求A、B两点到准线距离的和.

解:如图8-3-1,y2=4x的焦点为F (1,0),则l的方程为y=x-1.

由 消去y得x2-6x+1=0.

设A (x1,y1),B (x2,y2) 则x1+x2=6.

又A、B两点到准线的距离为 , ,则

点评:抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质,在解题中起到至关重要的作用。

例3:(1) 已知抛物线的标准方程是y2=10x,求它的焦点坐标和准线方程;

(2) 已知抛物线的焦点是F (0,3)求它的标准方程;

(3) 已知抛物线方程为y=-mx2 (m>0)求它的焦点坐标和准线方程;

(4) 求经过P (-4,-2)点的抛物线的标准方程;

分析:这是为掌握抛物线四类标准方程而设计的基础题,解题时首先分清属哪类标准型,再录求P值(注意p>0).特别是(3)题,要先化为标准形式: ,则 .(4)题满足条件的抛物线有向左和向下开口的两条,因此有两解.

答案:(1) , .(2) x2=12y (3) , ;(4) y2=-x或x2=-8y.

例4 求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程:

(1)过点(-3,2);

(2)焦点在直线x-2y-4=0上

分析:从方程形式看,求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p;从实际分析,一般需确定p和确定开口方向两个条件,否则,应展开相应的讨论

解:(1)设所求的抛物线方程为y2=-2px或x2=2py(p>0),

∵过点(-3,2),

∴4=-2p(-3)或9=2p•2

∴p= 或p=

∴所求的抛物线方程为y2=- x或x2= y,前者的准线方程是x= ,后者的准线方程是y=-

(2)令x=0得y=-2,令y=0得x=4,

∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2)

当焦点为(4,0)时, =4,

∴p=8,此时抛物线方程y2=16x;

焦点为(0,-2)时, =2,

∴p=4,此时抛物线方程为x2=-8y

∴所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=-8y,

对应的准线方程分别是x=-4,y=2

常用结论

① 过抛物线y2=2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p

② 设A(x1,y), 1B(x2,y2)是抛物线y2=2px上的两点, 则AB过F的充要条件是y1y2=-p2

③ 设A, B是抛物线y2=2px上的两点,O为原点, 则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p,0)

例5:过抛物线y2=2px (p>0)的顶点O作弦OA⊥OB,与抛物线分别交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,求证:y1y2=-4p2.

分析:由OA⊥OB,得到OA、OB斜率之积等于-1,从而得到x1、x2,y1、y2之间的关系.又A、B是抛物线上的点,故(x1,y1)、(x2,y2)满足抛物线方程.从这几个关系式可以得到y1、y2的值.

证:由OA⊥OB,得 ,即y1y2=-x1x2,又 , ,所以: ,即 . 而y1y2≠0.所以y1y2=-4p2.

弦的问题

例1 A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,满足OAOB(O为坐标原点) 求证:(1)A,B两点的横坐标之积,纵坐标之积为定值;

(2)直线AB经过一个定点

(3)作OMAB于M,求点M的轨迹方程

解:(1)设A(x1,y1), B(x2,y2), 则y12=2px1, y22=2px2,

∴y12y22=4p2x1x2,

∵OAOB, ∴x1x2+y1y2=0,

由此即可解得:x1x2=4p2, y1y2=─4p2 (定值)

(2)直线AB的斜率k= = = ,

∴直线AB的方程为y─y1= (x─ ),

即y(y1+y2)─y1y2=2px, 由(1)可得 y= (x─2p),

直线AB过定点C(2p,0)

(3)解法1:设M(x,y), 由(2)知y= (x─2p) (i),

又ABOM, 故两直线的斜率之积为─1, 即 • = ─1 (ii)

由(i),(ii)得x2─2px+y2=0 (x0)

解法2: 由OMAB知点M的轨迹是以原点和点(2p,0)为直径的圆(除去原点) 立即可求出

例2 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动,AB的中点为M,求点M到y轴的最短距离,并求此时点M的坐标

解:如图,设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则x= , y= ,

又设点A,B,M在准线 :x=─1/4上的射影分别为A/,B/,M/, MM/与y轴的交点为N,

则|AF|=|AA/|=x1+ ,|BF|=|BB/|=x2+ ,

∴x= (x1+x2)= (|AF|+|BF|─ ) (|AB|─ )=

等号在直线AB过焦点时成立,此时直线AB的方程为y=k(x─ )

由 得16k2x2─8(k2+2)x+k2=0

依题意|AB|= |x1─x2|= × = =3,

∴k2=1/2, 此时x= (x1+x2)= =

∴y= ± 即M( , ), N( ,─ )

例3 设一动直线过定点A(2, 0)且与抛物线 相交于B、C两点,点B、C在 轴上的射影分别为 , P是线段BC上的点,且适合 ,求 的重心Q的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形

解析: 设 ,

,

由 得

又 代入①式得 ②

由 得 代入②式得:

由 得 或 , 又由①式知 关于 是减函数且

, 且

所以Q点轨迹为一线段(抠去一点):

( 且 )

例4 已知抛物线 ,焦点为F,一直线 与抛物线交于A、B两点,且 ,且AB的垂直平分线恒过定点S(6, 0)

①求抛物线方程; ②求 面积的最大值

解: ①设 , AB中点

由 得

又 得

所以 依题意 ,

抛物线方程为

②由 及 ,

令 得

又由 和 得:

例5 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动,AB的中点为M,求点M到y轴的最短距离,并求此时点M的坐标

解:如图,设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则x= , y= ,

又设点A,B,M在准线 :x=─1/4上的射影分别为A/,B/,M/, MM/与y轴的交点为N,

则|AF|=|AA/|=x1+ ,|BF|=|BB/|=x2+ ,

∴x= (x1+x2)= (|AF|+|BF|─ ) (|AB|─ )=

等号在直线AB过焦点时成立,此时直线AB的方程为y=k(x─ )

由 得16k2x2─8(k2+2)x+k2=0

依题意|AB|= |x1─x2|= × = =3,

∴k2=1/2, 此时x= (x1+x2)= =

∴y= ± 即M( , ), N( ,─ )

综合类(几何)

例1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q,通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M,如何证明直线MQ平行于抛物线的对称轴?

解:思路一:求出M、Q的纵坐标并进行比较,如果相等,则MQ//x轴,为此,将方程 联立,解出

直线OP的方程为 即

令 ,得M点纵坐标 得证.

由此可见,按这一思路去证,运算较为繁琐.

思路二:利用命题“如果过抛物线 的焦点的一条直线和这条抛物线相交,两上交点的纵坐标为 、 ,那么 ”来证.

设 、 、 ,并从 及 中消去x,得到 ,则有结论 ,即 .

又直线OP的方程为 , ,得 .

因为 在抛物线上,所以 .

从而 .

这一证法运算较小.

思路三:直线MQ的方程为 的充要条件是 .

将直线MO的方程 和直线QF的方程 联立,它的解(x ,y)就是点P的坐标,消去 的充要条件是点P在抛物线上,得证.这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维,运算量也较小.

说明:本题中过抛物线焦点的直线与x轴垂直时(即斜率不存在),容易证明成立.

例2 已知过抛物线 的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点,点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点,求△RAB的最大面积.

分析:求RAB的最大面积,因过焦点且斜率为1的弦长为定值,故可以 为三角形的底,只要确定高的最大值即可.

解:设AB所在的直线方程为 .

将其代入抛物线方程 ,消去x得

当过R的直线l平行于AB且与抛物线相切时,△RAB的面积有最大值.

设直线l方程为 .代入抛物线方程得

由 得 ,这时 .它到AB的距离为

∴△RAB的最大面积为 .

例3 直线 过点 ,与抛物线 交于 、 两点,P是线段 的中点,直线 过P和抛物线的焦点F,设直线 的斜率为k.

(1)将直线 的斜率与直线 的斜率之比表示为k的函数 ;

(2)求出 的定义域及单调区间.

分析: 过点P及F,利用两点的斜率公式,可将 的斜率用k表示出来,从而写出 ,由函数 的特点求得其定义域及单调区间.

解:(1)设 的方程为: ,将它代入方程 ,得

设 ,则

将 代入 得: ,即P点坐标为 .

由 ,知焦点 ,∴直线 的斜率

∴函数 .

(2)∵ 与抛物线有两上交点,∴ 且

解得 或

∴函数 的定义域为

当 时, 为增函数.

例4 如图所示:直线l过抛物线 的焦点,并且与这抛物线相交于A、B两点,求证:对于这抛物线的任何给定的一条弦CD,直线l不是CD的垂直平分线.

分析:本题所要证的命题结论是否定形式,一方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论;别一方面也可以根据l上任一点到C、D距离相等来得矛盾结论.

证法一:假设直线l是抛物线的弦CD的垂直平方线,因为直线l与抛物线交于A、B两点,所以直线l的斜率存在,且不为零;直线CD的斜率存在,且不为0.

设C、D的坐标分别为 与 .则

∴l的方程为

∵直线l平分弦CD

∴CD的中点 在直线l上,

即 ,化简得:

由 知 得到矛盾,所以直线l不可能是抛物线的弦CD的垂直平分线.

证法二:假设直线l是弦CD的垂直平分线

∵焦点F在直线l上,∴

由抛物线定义, 到抛物线的准线 的距离相等.

∵ ,

∴CD的垂直平分线l: 与直线l和抛物线有两上交点矛盾,下略.

例5 设过抛物线 的顶点O的两弦OA、OB互相垂直,求抛物线顶点O在AB上射影N的轨迹方程.

分析:求与抛物线有关的轨迹方程,可先把N看成定点 ;待求得 的关系后再用动点坐标 来表示,也可结合几何知识,通过巧妙替换,简化运算.

解法一:设

则: ,

, 即

, ①

把N点看作定点,则AB所在的直线方程为: 显然

代入 化简整理得:

, ②

由①、②得: ,化简得

用x、y分别表示 得:

解法二:点N在以OA、OB为直径的两圆的交点(非原点)的轨迹上,设 ,则以OA为直径的圆方程为:

设 ,OA⊥OB,则

在求以OB为直径的圆方程时以 代 ,可得

由①+②得:

例6如图所示,直线 和 相交于点M, ⊥ ,点 ,以A、B为端点的曲线段C上的任一点到 的距离与到点N的距离相等,若△AMN为锐角三角形, , ,且 ,建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.

分析:因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点,以 为准线的抛物线的一段,所以本题关键是建立适当坐标系,确定C所满足的抛物线方程.

解:以 为x轴,MN的中点为坐标原点O,建立直角坐标系.

由题意,曲线段C是N为焦点,以 为准线的抛物线的一段,其中A、B分别为曲线段的两端点.

∴设曲线段C满足的抛物线方程为: 其中 、 为A、B的横坐标

令 则 ,

∴由两点间的距离公式,得方程组:

解得 或

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