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2015-09-24
三、解答题
9.已知函数f(x)=x3-ax+1.
(1)当x=1时,f(x)取得极值,求a的值;
(2)求f(x)在[0,1]上的最小值;
(3)若对任意mR,直线y=-x+m都不是曲线y=f(x)的切线,求a的取值范围.
解析:(1)因为f′(x)=x2-a,
当x=1时,f(x)取得极值,所以f′(1)=1-a=0,a=1.
又当x(-1,1)时,f′(x)<0;当x(1,+∞)时,f′(x)>0,
所以f(x)在x=1处取得极小值,即a=1时符合题意.
(2)当a≤0时,f′(x)>0对x(0,1)恒成立,
所以f(x)在(0,1)上单调递增,f(x)在x=0处取得最小值f(0)=1.
当a>0时,令f′(x)=x2-a=0,
x1=-,x2=,
当0
当x∈(0,)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
所以f(x)在x=处取得最小值f()=1-.
当a≥1时,≥1.
x(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
所以f(x)在x=1处取得最小值f(1)=-a.
综上所述,当a≤0时,f(x)在x=0处取得最小值f(0)=1;
当0
当a≥1时,f(x)在x=1处取得最小值f(1)=-a.
(3)因为m∈R,直线y=-x+m都不是曲线y=f(x)的切线,
所以f′(x)=x2-a≠-1对xR恒成立,
只要f′(x)=x2-a的最小值大于-1即可.
而f′(x)=x2-a的最小值为f(0)=-a,
所以-a>-1,即a<1.
故a的取值范围是(-∞,1).
10.已知函数f(x)=x-ax2-ln(1+x),其中aR.
(1)若x=2是f(x)的极值点,求a的值;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)若f(x)在[0,+∞)上的最大值是0,求a的取值范围.
命题立意:本题考查导数与函数的极值、单调性、最值等知识,考查考生分析问题、解决问题的能力,考查函数与方程、分类整合等数学思想方法.(1)根据可导函数在一定点处取得极值的必要条件是其导数等于零,得出关于a的方程即可求出a,再根据极值点两侧导数值异号进行检验;(2)讨论导数的符号,就参数a的取值情况进行分类讨论即可;(3)根据函数的单调性和极值点,以及函数最大值的概念分情况解决.
解析:(1)f′(x)=,x(-1,+∞).
依题意,得f′(2)=0,解得a=.
经检验,a=时,符合题意.
(2)当a=0时,f′(x)=,x(-1,+∞).
故f(x)的单调增区间是(0,+∞),单调减区间是(-1,0).
当a>0时,令f′(x)=0,得
x1=0,x2=-1,
当0
f(x)的单调增区间是,单调减区间是(-1,0).
当a=1时,f(x)的单调减区间是(-1,+∞).
当a>1时,-11时,f(x)的单调增区间是-1,0,单调减区间是(0,+∞).
(3)由(2)知a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,由f(0)=0知不合题意.
当00,f(x)在区间上递增可知,f>f(0)=0知不合题意.
当a≥1时,f(x)在(0,+∞)单调递减,可得f(x)在[0,+∞)上的最大值是f(0)=0,符合题意.
f(x)在[0,+∞)上的最大值是0时,a的取值范围是[1,+∞).
11.设函数f(x)=xln x(x>0).
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)设F(x)=ax2+f′(x)(aR),讨论函数F(x)的单调性;
(3)斜率为k的直线与曲线y=f′(x)交于A(x1,y1),B(x2,y2)(x10),
令f′(x)=0,得x=.
当x时,f′(x)<0;
当x时,f′(x)>0.
当x=时,f(x)min=ln=-.
(2)F(x)=ax2+ln x+1(x>0),
F′(x)=2ax+=(x>0).
当a≥0时,恒有F′(x)>0,F(x)在(0,+∞)上是增函数;
当a<0时,
令F′(x)>0,得2ax2+1>0,
解得0.
综上,当a≥0时,F(x)在(0,+∞)上是增函数;
当a<0时,F(x)在上单调递增,在上单调递减.
(3)k==.
要证x1<1知ln t>0,故等价于证ln t1).(*)
设g(t)=t-1-ln t(t≥1),
则g′(t)=1-≥0(t≥1),
故g(t)在[1,+∞)上是增函数.
当t>1时,g(t)=t-1-ln t>g(1)=0,
即t-1>ln t(t>1).
设h(t)=tln t-(t-1)(t≥1),
则h′(t)=ln t≥0(t≥1),
故h(t)在[1,+∞)上是增函数.
当t>1时,h(t)=tln t-(t-1)>h(1)=0,
即t-11).
由知(*)成立,得证.
标签:高考数学试题
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