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2016年高考数学第一轮复习提分专练习题:概率

编辑:sx_zhaoyl

2015-09-24

精品学习网高中频道收集和整理了“2016年高考数学第一轮复习提分专练习题:概率”,以便高三学生更好的梳理知识,轻松备战。

一、选择题

1.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次,至少击中3次的概率:先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数,指定0,1表示没有击中目标,2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:

7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947

1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661

9597 7424 7610 4281

根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为(  )

A.0.852   B.0.819 2   C.0.8   D.0.75

答案:D 命题立意:本题主要考查随机模拟法,考查考生的逻辑思维能力.

解题思路:因为射击4次至多击中2次对应的随机数组为7140,1417,0371,6011,7610,共5组,所以射击4次至少击中3次的概率为1-=0.75,故选D.

2.在菱形ABCD中,ABC=30°,BC=4,若在菱形ABCD内任取一点,则该点到四个顶点的距离均不小于1的概率是(  )

A. 1/2B.2

C. -1D.1

答案:D 命题立意:本题主要考查几何概型,意在考查考生的运算求解能力.

解题思路:如图,以菱形的四个顶点为圆心作半径为1的圆,图中阴影部分即为到四个顶点的距离均不小于1的区域,由几何概型的概率计算公式可知,所求概率P==.

3.设集合A={1,2},B={1,2,3},分别从集合A和B中随机取一个数a和b,确定平面上的一个点P(a,b),记“点P(a,b)落在直线x+y=n上”为事件Cn(2≤n≤5,nN) ,若事件Cn的概率最大,则n的所有可能值为(  )

A.3 B.4 C.2和5 D.3和4

答案:D 解题思路:分别从集合A和B中随机取出一个数,确定平面上的一个点P(a,b),则有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),共6种情况,a+b=2的有1种情况,a+b=3的有2种情况,a+b=4的有2种情况,a+b=5的有1种情况,所以可知若事件Cn的概率最大,则n的所有可能值为3和4,故选D.

4.记a,b分别是投掷两次骰子所得的数字,则方程x2-ax+2b=0有两个不同实根的概率为(  )

A. 3/4B.1/2

C. 1/3D.1/4

答案:B 解题思路:由题意知投掷两次骰子所得的数字分别为a,b,则基本事件有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),…,(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共有36个.而方程x2-ax+2b=0有两个不同实根的条件是a2-8b>0,因此满足此条件的基本事件有:(3,1),(4,1),(5,1),(5,2),(5,3),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),共有9个,故所求的概率为=.

5.在区间内随机取两个数分别为a,b,则使得函数f(x)=x2+2ax-b2+π2有零点的概率为(  )

A.1- B.1- C.1- D.1-

答案:

B 解题思路:函数f(x)=x2+2ax-b2+π2有零点,需Δ=4a2-4(-b2+π2)≥0,即a2+b2≥π2成立.而a,b[-π,π],建立平面直角坐标系,满足a2+b2≥π2的点(a,b)如图阴影部分所示,所求事件的概率为P===1-,故选B.

6.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于(  )

A.5/6 B.11/12

C. 1/2D.3/4

答案:B 解题思路:将同色小球编号,从袋中任取两球,所有基本事件为:(红,白1),(红,白2),(红,黑1),(红,黑2),(红,黑3),(白1,白2),(白1,黑1),(白1,黑2),(白1,黑3),(白2,黑1),(白2,黑2),(白2,黑3),(黑1,黑2),(黑1,黑3),(黑2,黑3),共有15个基本事件,而为一白一黑的共有6个基本事件,所以所求概率P==.故选B.

二、填空题

7.已知集合表示的平面区域为Ω,若在区域Ω内任取一点P(x,y),则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为________.

答案: 命题立意:本题考查线性规划知识以及几何概型的概率求解,正确作出点对应的平面区域是解答本题的关键,难度中等.

解题思路:如图阴影部分为不等式组表示的平面区域,满足条件x2+y2≤2的点分布在以为半径的四分之一圆面内,以面积作为事件的几何度量,由几何概型可得所求概率为=.

8.从5名学生中选2名学生参加周六、周日社会实践活动,学生甲被选中而学生乙未被选中的概率是________.

答案: 命题立意:本题主要考查古典概型,意在考查考生分析问题的能力.

解题思路:设5名学生分别为a1,a2,a3,a4,a5(其中甲是a1,乙是a2),从5名学生中选2名的选法有(a1,a2),(a1,a3) ,(a1,a4),(a1,a5),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a3,a4),(a3,a5),(a4,a5),共10种,学生甲被选中而学生乙未被选中的选法有(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),共3种,故所求概率为.

9.已知函数f(x)=kx+1,其中实数k随机选自区间,则对x∈[-1,1],都有f(x)≥0恒成立的概率是________.

答案: 命题立意:本题主要考查几何概型,意在考查数形结合思想.

解题思路:f(x)=kx+1过定点(0,1),数形结合可知,当且仅当k[-1,1]时满足f(x)≥0在x[-1,1]上恒成立,而区间[-1,1],[-2,1]的区间长度分别是2,3,故所求的概率为.

10.若实数m,n{-2,-1,1,2,3},且m≠n,则方程+=1表示焦点在y轴上的双曲线的概率是________.

解题思路:实数m,n满足m≠n的基本事件有20种,如下表所示.

-2 -1 1 2 3 -2 (-2,-1) (-2,1) (-2,2) (-2,3) -1 (-1,-2) (-1,1) (-1,2) (-1,3) 1 (1,-2) (1,-1) (1,2) (1,3) 2 (2,-2) (2,-1) (2,1) (2,3) 3 (3,-2) (3,-1) (3,1) (3,2) 其中表示焦点在y轴上的双曲线的事件有(-2,1),(-2,2),(-2,3),(-1,1),(-1,2),(-1,3),共6种,因此方程+=1表示焦点在y轴上的双曲线的概率为P==.

三、解答题

11.袋内装有6个球,这些球依次被编号为1,2,3,…,6,设编号为n的球重n2-6n+12(单位:克),这些球等可能地从袋里取出(不受重量、编号的影响).

(1)从袋中任意取出1个球,求其重量大于其编号的概率;

(2)如果不放回地任意取出2个球,求它们重量相等的概率.

命题立意:本题主要考查古典概型的基础知识,考查考生的计算能力.

解析:(1)若编号为n的球的重量大于其编号,则n2-6n+12>n,即n2-7n+12>0.

解得n<3或n>4.所以n=1,2,5,6.

所以从袋中任意取出1个球,其重量大于其编号的概率P==.

(2)不放回地任意取出2个球,这2个球编号的所有可能情形为:

1,2;1,3;1,4;1,5;1,6;

2,3;2,4;2,5;2,6;

3,4;3,5;3,6;

4,5;4,6;

5,6.

共有15种可能的情形.

设编号分别为m与n(m,n{1,2,3,4,5,6},且m≠n)的球的重量相等,则有m2-6m+12=n2-6n+12,

即有(m-n)(m+n-6)=0.

所以m=n(舍去)或m+n=6.

满足m+n=6的情形为1,5;2,4,共2种情形.

故所求事件的概率为.

12.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4.

(1)从袋中随机抽取一个球,将其编号记为a,然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球,将其编号记为b,求关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有实根的概率;

(2)先从袋中随机取一个球,该球的编号记为m,将球放回袋中,然后从袋中随机取一个球,该球的编号记为n.若以(m,n)作为点P的坐标,求点P落在区域内的概率.

命题立意:(1)不放回抽球,列举基本事件的个数时,注意不要出现重复的号码;(2)有放回抽球,列举基本事件的个数时,可以出现重复的号码,然后找出其中随机事件含有的基本事件个数,按照古典概型的公式进行计算.

解析:(1)设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”.

当a>0,b>0时,方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b.以下第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值.基本事件共12个:(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3).

事件A中包含6个基本事件:(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3).

事件A发生的概率为P(A)==.

(2)先从袋中随机取一个球,放回后再从袋中随机取一个球,点P(m,n)的所有可能情况为:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个.

落在区域内的有(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),共4个,所以点P落在区域内的概率为.

13.某校从高一年级学生中随机抽取40名学生,将他们的期中考试数学成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段:[40,50),[50,60),…,[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求图中实数a的值;

(2)若该校高一年级共有学生640人,试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数;

(3)若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生,求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.

命题立意:本题以频率分布直方图为载体,考查概率、统计等基础知识,考查数据处理能力、推理论证能力和运算求解能力,考查数形结合、化归与转化等数学思想方法.

解析:(1)由已知,得10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1,

解得a=0.03.

(2)根据频率分布直方图可知,成绩不低于60分的频率为1-10×(0.005+0.01)=0.85.

由于该校高一年级共有学生640人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85=544.

(3)易知成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05=2,这2人分别记为A,B;成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1=4,这4人分别记为C,D,E,F.

若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生,则所有的基本事件有:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15个.

如果2名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内,那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内,另一个成绩在[90,100]分数段内,那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.

记“这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M,则事件M包含的基本事件有:(A,B),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共7个.

所以所求概率为P(M)=.

14.新能源汽车是指利用除汽油、柴油之外其他能源的汽车,包括燃料电池汽车、混合动力汽车、氢能源动力汽车和太阳能汽车等,其废气排放量比较低,为了配合我国“节能减排”战略,某汽车厂决定转型生产新能源汽车中的燃料电池轿车、混合动力轿车和氢能源动力轿车,每类轿车均有标准型和豪华型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):

燃料电池轿车 混合动力轿车 氢能源动力轿车 标准型 100 150 y 豪华型 300 450 600 按能源类型用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中燃料电池轿车有10辆.

(1)求y的值;

(2)用分层抽样的方法在氢能源动力轿车中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2辆轿车,求至少有1辆标准型轿车的概率;

(3)用随机抽样的方法从混合动力标准型轿车中抽取10辆进行质量检测,经检测它们的得分如下:9.3,8.7,9.1,9.5,8.8,9.4,9.0,8.2,9.6,8.4.把这10辆轿车的得分看作一个样本,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.4的概率.

命题立意:本题主要考查概率与统计的相关知识,考查学生的运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力.对于第(1)问,设该厂这个月生产轿车n辆,根据分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有燃料电池轿车10辆,列出关系式,得到n的值,进而得到y值;对于第(2)问,由题意知本题是一个古典概型,用列举法求出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数,根据古典概型的概率公式得到结果;对于第(3)问,首先求出样本的平均数,求出事件发生包含的事件数和满足条件的事件数,根据古典概型的概率公式得到结果.

解析:(1)设该厂这个月共生产轿车n辆,由题意,得

=,n=2 000,y=2 000-(100+300)-150-450-600=400.

(2)设所抽样本中有a辆标准型轿车,由题意得a=2.因此抽取的容量为5的样本中,有2辆标准型轿车,3辆豪华型轿车,用A1,A2表示2辆标准型轿车,用B1,B2,B3表示3辆豪华型轿车,用E表示事件“在该样本中任取2辆轿车,其中至少有1辆标准型轿车”,则总的基本事件有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),共10个,事件E包含的基本事件有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),共7个,故所求概率为P(E)=.

(3)样本平均数=×(9.3+8.7+9.1+9.5+8.8+9.4+9.0+8.2+9.6+8.4)=9.

设D表示事件“从样本中任取一个数,该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.4”,则总的基本事件有10个,事件D包括的基本事件有9.3,8.7,9.1,8.8,9.4,9.0,共6个.

所求概率为P(D)==.

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