(3)在射线AB上取一点G，使得PG=PA，过点P作PH⊥AF，垂足为H，如图③，

则有AH=GH=AG.

∵∠CAB=α，AD为∠CAB的角平分线，

∴∠PAE=∠PAF=∠CAB= .

∵PG=PA，

∴∠PGA=∠PAG= .

∴∠APG=180°﹣α.

∵∠EPF=180°﹣α，

∴∠EPF=∠APG.

同理可得：S四边形AEPF=S△PAG.

∵AP=2，

∴PH=2sin ，AH=2cos .

∴AG=2AH=4cos .

∴S△PAG=AG•PH=4sin cos .

∴重叠部分得面积为：S面积=4sin cos .

点评： 本题属于探究性试题，考查了旋转的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的内心、三角形的内角和定理、勾股定理等知识，有一定的综合性.另外，在解决问题的过程中，常常可以借鉴已证的结论和已有的解题经验来解决新的问题.

24.(10分)(2014•岳阳)如图，抛物线经过点A(1，0)，B(5，0)，C(0， )三点，设点E(x，y)是抛物线上一动点，且在x轴下方，四边 形OEBF是以OB为对角线的平行四边形.

(1)求抛物线的解析式;

(2)当点E(x，y)运动时，试求平行四边形OEBF的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的最大值?

(3)是否存在这样的点E，使平行四边形OEBF为正方形?若存在，求E点，F点的坐标;若不存在，请说明理由.

考点： 二次函数综合题.

分析： (1)由抛物线经过点A(1，0)，B(5，0)，C(0， )三点，利 用待定系数法求二次函数的解析式;

(2)由点E(x，y)是抛物线上一动点，且位于第四象限，可得y<0，即﹣y>0，﹣y表示点E到OA的距离，又由S=2S△OBE=2××OB•|y|，即可求得平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，结合图象，求得自变量x的取值范围;

(3)由当OB⊥EF，且OB=EF时，平行四边形OEBF是正方形，可得此时点E坐标只能(2.5，﹣2.5)，而坐标为(2.5，﹣2.5)点在抛物线上，故可判定存在点E，使平行四边形OEBF为正方形.

解答： 解：(1)设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，

∵抛物线经过点A(1，0)，B(5，0)，C(0， )三点，则由题意可得：

，解得 .

∴所求抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+ .

(2)∵点E(x，y)是抛物线上一动点，且在x轴下方，

∴y<0，

即﹣y>0，﹣y表示点E到OA的距离.

∵OB是平行四边形OEBF的对角线，

∴S=2S△OBE=2××OB•|y|=﹣5y=﹣5(x2﹣4x+ )=﹣ x2+20x﹣ ，

∵S=﹣ (x﹣3)2+

∴S与x之间的函数关系式为：S=﹣ x2+20x﹣ (1

(3)∵当OB⊥EF，且OB=EF时，平行四边形OEBF是正方形，

∴此时点E坐标只能(，﹣)，而坐标为(，﹣)点在抛物线上，

∴存在点E(，﹣)，使平行四边形OEBF为正方形，

此时点F坐标为(，).

点评： 此题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式、配方法、平行四边形的性质以及正方形的判定等知识.此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想、方程思想与函数思想的应用.

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