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北师大版九年级下册数学第一章测试题

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2016-03-04

二、填空题

11.10 解析:如图,过点A作AC⊥BC,则AC= 8米,BC=12-6=6(米).在Rt△ACB中,根据勾股定理,得AB= = = =10(米).

12. 27.8° 解析:根据正切的定义可知 ,

然后使用计算器求出 的度数约为27.8°.

13.43.3 解析:因为 ,所以 所以 所以 ).

14.15°或75° 解析:如图, .

在图①中, ,所以∠ ∠ ;

在图②中, ,所以∠ ∠ .

15. 解析:在Rt△ 中,∵ ,∴ sin B= , .

在Rt△ 中,∵ ,sin B= ,∴ .

在Rt△ 中,∵ , ∴ .

16. 解析:设每个小方格的边长为1,利用网格,从 点向 所在直线作垂线,利用勾股定理得 ,所以sin A = .

17. 14.1 解析:如图,过点B作BE⊥CD于点E,∵ BC=BD,根据等腰三角形的“三线合一”性质,得∠CBE= ∠CBD=20°.

在Rt△BCE中,cos∠CBE= ,∴ BE=BC•cos∠CBE≈15×0.940=14.1(cm).

第17题答图

18. 解析:如图,延长 、 交于 点,

∵ ∠ ,∴ .

∵ ,∴ ,

∴ .∵ ,

∴ .

三、解答题

19.解:(1)

(2)

20.解:∵ ∠ 90°, ∠ 45°,∴

∵ ,∴

则 m,

∵ ∠ 35°,

∴ tan∠ tan 35° .

整理,得 ≈10.5.

故大树 的高约为10.5

21.解:因为 所以斜坡的坡角小于 ,

故此商场能把台阶换成斜坡.

22.解:设 ,则由题意可知 , m.

在Rt△AEC中,tan∠CAE= ,即tan 30°= ,

∴ ,即3x (x+100),解得x 50+50 .

经检验, 50+50 是原方程的解.

故该建筑物的高度约为

23.解:如图,过点D分别作 ⊥ 于点 , ⊥ 于点 ,

在Rt△ 中, ∠ , 米,

所以 (米),

(米).

在Rt△ADE中,∠ADE=60°,设 米,

则 (米).

在矩形DEBF中,BE=DF=200 米,

在Rt△ACB中, ∠ ,∴ ,

即 ,

∴ , ∴ 米.

24.解:由原题左图可知:BE⊥DC, m, .

在Rt△BEC中, (m).

由勾股定理得, m.

在不改变土石方量,全部充分利用原有土石方的前提下进行坡面改造,使坡度变小,则梯形 的面积=梯形 的面积.

解得 =80(m).

∴ 改造后坡面的坡度 .

25.分析:(1)根据已知条件得出∠B=∠DCB=∠CAE,可以在Rt△ACH中求出sin B的值.

(2)通过解Rt△ABC求出AC与BC的长,解Rt△ACH求出CE的长,利用BE=BC-CE得到答案.

解:(1)∵ CD是斜边AB上的中线,

∴ CD=BD,∴ ∠B=∠DCB.

∵ ∠ACB=90°,AE⊥CD,

∴ ∠DCB=∠CAE,∴ ∠B=∠DCB=∠CAE.

∵ AH=2CH,

∴ sin B=sin∠CAE= = = .

(2)∵ CD= ,∴ AB=2 .

∴ BC=2 •cos B=4,AC=2 •sin B=2,

∴ CE=AC•tan∠CAE=1,

∴ BE=BC-CE=3.

点拨:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形.

26.分析:(1)过点C作CE⊥AB于点E,构造直角三角形.设AE=a海里,通过解直角三角形,用含a的代数式表示出CE,AC.在Rt△BCE中,根据BE=CE,列出方程,求出a,进而求出AC.

(2)判断巡逻船A在沿直线AC去营救船C的途中有无触礁危险,只要求出观测点D到AC的距离,然后与100海里比较即可.因此,过点D作DF⊥AC,构造出Rt△ADF,求出DF,将DF与100海里进行比较.

解:(1)如图,过点C作CE⊥AB于点E,

设AE=a海里,则BE=AB-AE=100( +1)-a(海里).

在Rt△ACE中,∠AEC=90°,∠EAC=60°,

∴ AC= = =2a(海里),

CE=AE•tan 60°= a(海里).

在Rt△BCE中,BE=CE,

∴ 100( +1)-a= a,∴ a=100(海里).

∴ AC=2a=200(海里).

在△ACD和△ABC中,∠ACB=180°-45°-60°=75°=∠ADC,∠CAD=∠BAC,

∴ △ACD∽△ABC,∴ = ,即 = .

∴ AD=200( -1)(海里).

答:A与C间的距离为200海里,A与D间的距离为200( -1)海里.

(2)如图,过点D作DF⊥AC于点F.

在Rt△ADF中,∠DAF=60°,

∴ DF=AD•sin 60°=200( -1)× =100(3- )≈127>100.

∴ 船A沿直线AC航行,前往船C处途中无触礁危险.

点拨:(1)解斜三角形的问题时,一般通过作高构造直角三角形求解;(2)已知两个直角三角形边长的和或边长的差,常通过列方程的方法解直角三角形.

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