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2010年河北中考数学试题及答案

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2017-11-07


13. (2012安徽,13,5分)如图,点A、B、C、D在⊙O上,O点在∠D的内部,四边形OABC为平行四边形,则∠OAD+∠OCD=_______________°.

13. 解析:根据同圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半,所以∠AOC=2∠D;又因为四边形OABC是平行四边形,所以∠B=∠AOC;圆内接四边形对角互补,∠B+∠D=180°,所以∠D=

60°,连接OD,则OA=OD,OD=OC,∠OAD=∠ODA,∠OCD=∠ODC,即有∠OAD+∠OCD=60°.

答案:60.

点评:本题是以圆为背景的几何综合题,在圆内圆周角和圆心角之间的关系非常重要,经常会利用它们的关系来将角度转化,另外还考查了平行四边形对角相等,圆内接四边形对角互补,以及等腰三角形的性质.解决此类题目除了数学图形的性质,还要学会识图,做到数形结合.

14. (2012安徽,14,5分)如图,P是矩形ABCD内的任意一点,连接PA、PB、PC、PD,得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA,设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4,给出如下结论:

①S1+S2=S3+S4            ② S2+S4= S1+ S3

③若S3=2 S1,则S4=2 S2      ④若S1= S2,则P点在矩形的对角线上

其中正确的结论的序号是_________________(把所有正确结论的序号都填在横线上).

14. 解析:过点P分别向AD、BC作垂线段,两个三角形的面积之和 等于矩形面积的一半,同理,过点P分别向AB、CD作垂线段,两个三角形的面积之和 等于矩形面积的一半.  = ,又因为 ,则 = ,所以④一定成立

答案:②④.

点评:本题利用三角形的面积计算,能够得出②成立,要判断④成立,在这里充分利用所给条件,对等式进行变形.不要因为选出②,就认为找到答案了,对每个结论都要分析,当然感觉不一定对的,可以举反例即可.对于 ④这一选项容易漏选.

三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)

15. (2012安徽,15,8分)计算:

15. 解析:根据整式的乘法法则,多项式乘多项式时,用其中一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加;单项式乘多项式,可以按照乘法分配率进行.最后再根据合并同类项法则进行整式加减运算.

解:原式=a2-a+3a-3+a2-2a

=2a2-3

16. (2012安徽,16,8分)解方程:

16. 解析:根据一元二次方程方程的几种解法,本题不能直接开平方,也不可用因式分解法.先将方程整理一下,可以考虑用配方法或公式法.

解:原方程化为:x2-4x=1

配方,得x2-4x+4=1+4

整理,得(x-2)2=5

∴x-2= ,即 , .

四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)

17. (2012安徽,17,8分)在由m×n(m×n>1)个小正方形组成的矩形网格中,研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f,

(1)当m、n互质(m、n除1外无其他公因数)时,观察下列图形并完成下表:

1 2 3 2

1 3 4 3

2 3 5 4

2 4 7

3 5 7

猜想:当m、n互质时,在m×n的矩形网格中,一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m、n的关系式是______________________________(不需要证明);

解:

(2)当m、n不互质时,请画图验证你猜想的关系式是否依然成立,

17:解析:(1)通过题中所给网格图形,先计算出2×5,3×4,对角线所穿过的小正方形个数f,再对照表中数值归纳f与m、n的关系式.

(2)根据题意,画出当m、n不互质时,结论不成立的反例即可.

解:(1)如表:

1 2 3 2

1 3 4 3

2 3 5 4

2 4 7 6

3 5 7 6

f=m+n-1

(2)当m、n不互质时,上述结论不成立,如图2×4

2×4

18. (2012安徽,18,8分)如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点)和点A1.

(1)画出一个格点△A1B1C1,并使它与△ABC全等且A与A1是对应点;

(2)画出点B关于直线AC的对称点D,并指出AD可以看作由AB绕A点经过怎样的旋转而得到的.

解:

18.解析:(1)考查全等变化,可以通过平移、旋转、轴对称等来完成;(2)先作出图形,因为要回答旋转角度,利用方格纸算出AB、AD、BD的长度,再计算角度.

解:(1)答案不唯一,如图,平移即可

(2)作图如上,∵AB= ,AD= ,BD=

∴AB2+AD2=BD2

∴△ABD是直角三角形,AD可以看作由AB绕A点逆时针旋转90°得到的.

点评:图形变换有两种,全等变换和相似变换,掌握每种变换的概念、性质是作图的基础,一般难度不大.

五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)

19. (2012安徽,19,10分)如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC= ,求AB的长,

解:

19. 解析:本题在一个三角形中已知两个角和一边,求三角形的边.不是直角三角形,要利用三角函数必须构筑直角三角形,过点C作CD⊥AB于D,利用构造的两个直角三角形来解答.

解:过点C作CD⊥AB于D,

在Rt△ACD中,∠A=30°,AC=

∴CD=AC×sinA= ×0.5= ,

AD=AC×cosA= × =3,

在Rt△BCD中,∠B=45°,则BD=CD= ,

∴AB=AD+BD=3+

点评:解直角三角形中,除了直角外,还知道两个元素(至少有一个是边),就能求出其余的边和角. 一般三角形中,知道三个元素(至少有一个是边),就能求出其余的边和角. 这时将三角形转化为直角三角形时,注意尽量不要破坏所给条件.


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