【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，反比例函数与一次函数的图象。

【分析】(1)利用待定系数法设反比例函数解析式为 ，把点A的坐标代入解析式，求解即可，把点B的坐标代入反比例函数解析式进行计算求出a的值，从而得到点B的坐标。

(2)写出一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围即可。

10. (2012浙江宁波12分)如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A(﹣1，0)，B(2，0)，交y轴于C(0，﹣2)，过A，C画直线.

(1)求二次函数的解析式;

(2)点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长;

(3)点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H.

①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC(点C与点A对应)，求点M的坐标;

②若⊙M的半径为 ，求点M的坐标.

【答案】解：(1)∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A(﹣1，0)，B(2，0)

∴设该二次函数的解析式为：y=a(x+1)(x﹣2)，

将x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a(0+1)(0﹣2)，解得a=1。

∴抛物线的解析式为y=(x+1)(x﹣2)，即y=x2﹣x﹣2。

(2)设OP=x，则PC=PA=x+1，

在Rt△POC中，由勾股定理，得x2+22=(x+1)2，

解得，x= ，即OP= 。

(3)①∵△CHM∽△AOC，∴∠MCH=∠CAO。

(i)如图1，当H在点C下方时，

∵∠MCH=∠CAO，∴CM∥x轴，∴yM=﹣2。

∴x2﹣x﹣2=﹣2，解得x1=0(舍去)，x2=1。

∴M(1，﹣2)。

(ii)如图2，当H在点C上方时，

∵∠M′CH=∠CAO，∴PA=PC。

由(2)得，M′为直线CP与抛物线的另一交点，

设直线CM′的解析式为y=kx﹣2，

把P( ，0)的坐标代入，得 k﹣2=0，解得k= 。

∴y= x﹣2。

由 x﹣2=x2﹣x﹣2，解得x1=0(舍去)，x2= 。此时y= × 。

∴M′( )。

②在x轴上取一点D，如图3，过点D作DE⊥AC于点E，使DE= ，

在Rt△AOC中，AC= 。

∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD，

∴△AED∽△AOC，

∴ ，即 ，解得AD=2。

∴D(1，0)或D(﹣3，0)。

过点D作DM∥AC，交抛物线于M，如图

则直线DM的解析式为：y=﹣2x+2或y=﹣2x﹣6。

当﹣2x﹣6=x2﹣x﹣2时，即x2+x+4=0，方程无实数根，

当﹣2x+2=x2﹣x﹣2时，即x2+x﹣4=0，解得 。

∴点M的坐标为( )或( )。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。

【分析】(1)根据与x轴的两个交点A、B的坐标，故设出交点式解析式，然后把点C的坐标代入计算求出a的值，即可得到二次函数解析式。

(2)设OP=x，然后表示出PC、PA的长度，在Rt△POC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可。

(3)①根据相似三角形对应角相等可得∠MCH=∠CAO，然后分(i)点H在点C下方时，利用同位角相等，两直线平行判定CM∥x轴，从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，是-2，代入抛物线解析式计算即可;(ii)点H在点C上方时，根据(2)的结论，点M为直线PC与抛物线的另一交点，求出直线PC的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标。

②在x轴上取一点D，过点D作DE⊥AC于点E，可以证明△AED和△AOC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AD的长度，然后分点D在点A的左边与右边两种情况求出OD的长度，从而得到点D的坐标，再作直线DM∥AC，然后求出直线DM的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点M的坐标。

11. (2012浙江绍兴12分)把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子(纸板的厚度忽略不计)。

(1)如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子。

①要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少?

②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值?如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长;如果没有，说明理由。

(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上)，将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，求此时长方形盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况)。

【答案】解：(1)①设剪掉的正方形的边长为xcm。

则(40-2x)2=484，解得 (不合题意，舍去)， 。

∴剪掉的正方形的边长为9cm。

②侧面积有最大值。

设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2，

则y与x的函数关系为： ，

∴x=10时，y最大=800。

即当剪掉的正方形的边长为10cm时，长方形盒子的侧面积最大为800cm2。

(2)在如图的一种剪裁图中，设剪掉的正方形的边长为xcm。

则 ，

解得： (不合题意，舍去)， 。

∴剪掉的正方形的边长为15cm。

此时长方体盒子的长为15cm，宽为10cm，高为5cm。

【考点】二次函数的应用，一元二次方程的应用。

【分析】(1)①假设剪掉的正方形的边长为xcm，根据题意得出(40-2x)2=484，求出即可

②假设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2，则y与x的函数关系为：y=4(40-2x)x，利用二次函数最值求出即可。

(2)假设剪掉的正方形的边长为xcm，利用折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，得出等式方程求出即可。

12. (2012浙江台州8分)如图，正比例函数y=kx(x≥0)与反比例函数 的图象交于点

A(2，3)，

(1)求k，m的值;

(2)写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围.

【答案】解：(1)把(2，3)代入y=kx得：3=2k，∴ k= 。

把(2，3)代入 得：m=6。

(2)x>2。

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，正比例函数和反比例函数图象的性质。

【分析】(1)根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将A(2，3)分别代入y=kx和 即可求得k，m的值。

(2)由图象可知，当正比例函数值大于反比例函数值时，正比例函数的图象在反比例函数的图象上方，∴自变量x的取值范围是x>2。

13. (2012浙江台州12分)某汽车在刹车后行驶的距离s(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的关系得部分数据如下表：

时间t(秒) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 …

行驶距离s(米) 0 2.8 5.2 7.2 8.8 10 10.8 …

(1)根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点;

(2)选择适当的函数表示s与t之间的关系，求出相应的函数解析式;

(3)①刹车后汽车行驶了多长距离才停止?

②当t分别为t1，t2(t1

【答案】解：(1)描点图所示：

(2)由散点图可知该函数为二次函数。设二次函数的解析式为：s=at2+bt+c，

∵抛物线经过点(0，0)，∴c=0。

又由点(0.2，2.8)，(1，10)可得：

，解得： 。

经检验，其余各点均在s=-5t2+15t上。

∴二次函数的解析式为： 。

(3)①汽车刹车后到停止时的距离即汽车滑行的最大距离。

∵ ，∴当t= 时，滑行距离最大，为 。

因此，刹车后汽车行驶了 米才停止。

②∵ ，∴ 。

∴ 。

∵t1

其实际意义是刹车后到t2时间内的平均速到t1时间内的度小于刹车后平均速度。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质和应用，不等式的应用。

【分析】(1)描点作图即可。

(2)首先判断函数为二次函数。用待定系数法，由所给的任意三点即可求出函数解析式。

(3)将函数解析式表示成顶点式(或用公式求)，即可求得答案。

(4)求出 与 ，用差值法比较大小。

14. (2012浙江温州14分)如图，经过原点的抛物线 与x轴的另一个交点为A.过点 作直线 轴于点M，交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C(B、C不重合).连结CB,CP。

(1)当 时，求点A的坐标及BC的长;

(2)当 时，连结CA，问 为何值时CA⊥CP?

(3)过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在 ，使得点E落在坐标轴上?若存在，求出所有满足要求的 的值，并写出相对应的点E坐标;若不存在，请说明理由。

【答案】解：(1)当m=3时，y=-x2+6x。

令y=0得-x2+6x=0，解得，x1=0，x2=6。∴A(6，0)。

当x=1时，y=5。∴B(1，5)。

∵抛物线y=-x2+6x的对称轴为直线x=3，且B，C关于对称轴对称，∴BC=4。

(2)过点C作CH⊥x轴于点H(如图1)

由已知得，∠ACP=∠BCH=90°，∴∠ACH=∠PCB。

又∵∠AHC=∠PBC=90°，∴△AGH∽△PCB。

∴ 。

∵抛物线y=-x2+2mx的对称轴为直线x=m，其中m>1，且B，C关于对称轴对称，

∴BC=2(m-1)。

∵B(1，2m-1)，P(1，m)，∴BP=m-1。

又∵A(2m，0)，C(2m-1，2m-1)，∴H(2m-1，0)。

∴AH=1，CH=2m-1，

∴ ，解得m= 。

(3)存在。∵B，C不重合，∴m≠1。

(I)当m>1时，BC=2(m-1)，PM=m，BP=m-1，

(i)若点E在x轴上(如图1)，

∵∠CPE=90°，∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°，PC=EP。

∴△BPC≌△MEP，∴BC=PM，即2(m-1)=m，解得m=2。

此时点E的坐标是(2，0)。

(ii)若点E在y轴上(如图2)，过点P作PN⊥y轴于点N，

易证△BPC≌△NPE，

∴BP=NP=OM=1，即m-1=1，解得，m=2。

此时点E的坐标是(0，4)。

(II)当0

(i)若点E在x轴上(如图3)，

易证△BPC≌△MEP，

∴BC=PM，即2(1-m)=m，解得，m= 。

此时点E的坐标是( ，0)。

(ii)若点E在y轴上(如图4)，

过点P作PN⊥y轴于点N，易证△BPC≌△NPE，

∴BP=NP=OM=1，即1-m=1，∴m=0(舍去)。

综上所述，当m=2时，点E的坐标是(0，2)或(0，4)，

当m= 时，点E的坐标是( ，0)。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】(1)把m=3，代入抛物线的解析式，令y=0解方程，得到的非0解即为和x轴交点的横坐标，再求出抛物线的对称轴方程，从而求出BC的长。

(2)过点C作CH⊥x轴于点H(如图1)由已知得∠ACP=∠BCH=90°，利用已知条件证明

△AGH∽△PCB，根据相似的性质得到： ，再用含有m的代数式表示出BC，CH，BP，代入比例式即可求出m的值。

(3)存在。本题要分当m>1时，BC=2(m-1)，PM=m，BP=m-1和当0

15. (2012浙江义乌8分)如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E(4，n)在边AB上，反比例函数 (k≠0)在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA= .

(1)求边AB的长;

(2)求反比例函数的解析式和n的值;

(3)若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长.

【答案】解：(1)∵点E(4，n)在边AB上，∴OA=4，

在Rt△AOB中，∵tan∠BOA= ，∴AB=OA×tan∠BOA=4× =2。

(2)由(1)，可得点B的坐标为(4，2)，

∵点D为OB的中点，∴点D(2，1)。

∵点D在反比例函数 (k≠0)的图象上，∴ ，解得k=2。

∴反比例函数解析式为 。

又∵点E(4，n)在反比例函数图象上，∴ 。

(3)如图，设点F(a，2)，

∵反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，

∴ ，解得a=1。∴CF=1。

连接FG，设OG=t，则OG=FG=t，CG=2﹣t，

在Rt△CGF中，GF2=CF2+CG2，即t2=(2﹣t)2+12，

解得t= ，∴OG=t= 。

【考点】反比例函数综合题，锐角三角函数定义，曲线上点的坐标与方程的关系，折叠对称的性质，勾股定理。

【分析】(1)由点E的纵坐标得出OA=4，再根据tan∠BOA= 即可求出AB的长度;

(2)根据(1)求出点B的坐标，再根据点D是OB的中点求出点D的坐标，然后利用待定系数法求函数解析式求出反比例函数解析式，再把点E的坐标代入进行计算即可求出n的值。

(3)利用反比例函数解析式求出点F的坐标，从而得到CF的长度，连接FG，根据折叠的性质可得FG=OG，然后用OG表示出CG的长度，再利用勾股定理列式计算即可求出OG的长度。

16. (2012浙江义乌10分)周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游.从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地.小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程y(km)与小明离家时间x(h)的函数图象.已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍.

(1)求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间;

(2)小明从家出发多少小时后被妈妈追上?此时离家多远?

(3)若妈妈比小明早10分钟到达乙地，求从家到乙地的路程.

【答案】解：(1)由图象，得：小明骑车速度：10÷0.5=20(km/ h)。

在甲地游玩的时间是1﹣0.5=0.5(h)。

(2)妈妈驾车速度：20×3=60(km/h)

如图，设直线BC解析式为y=20x+b1，

把点B(1，10)代入得b1=﹣10。

∴直线BC解析式为y=20x﹣10 ①。

设直线DE解析式为y=60x+b2，

把点D( ，0)代入得b2=﹣80。

∴直线DE解析式为y=60x﹣80②。

联立①②，得x=1.75，y=25。

∴交点F(1.75，25)。

答：小明出发1.75小时(105分钟)被妈妈追上，此时离家25km。

17. (2012浙江义乌12分)如图1，已知直线y=kx与抛物线 交于点A(3，6).

(1)求直线y=kx的解析式和线段OA的长度;

(2)点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M(点M、O不重合)，交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N.试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值?如果是，求出这个定值;如果不是，说明理由;

(3)如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上(与点O、A不重合)，点D(m，0)是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD.继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个?

【答案】解：(1)把点A(3，6)代入y=kx 得;6=3k，即k=2。

∴y=2x。

∴ 。

(2)线段QM与线段QN的长度之比是一个定值，理由如下：

如图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H.

①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合，

此时 。

②当QH与QM不重合时，

∵QN⊥QM，QG⊥QH不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上，

∴∠MQH=∠GQN。

又∵∠QHM=∠QGN=90°，∴△QHM∽△QGN。∴ 。

当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得 。

∴线段QM与线段QN的长度之比是一个定值。

(3)如图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R。

∵∠AOD=∠BAE，∴AF=OF。

∴OC=AC= 。

∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC，

∴△AOR∽△FOC。∴ 。∴OF= 。

∴点F( ，0)。

设点B(x， )，过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARF。

∴ ，即 。

解得x1=6，x2=3(舍去)。∴点B(6，2)。

∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4。∴AB=5。

在△ABE与△OED中，∵∠BAE=∠BED，∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB。

∴∠ABE=∠DEO。

∵∠BAE=∠EOD，∴△ABE∽△OED。

设OE=x，则AE= ﹣x ( )，

由△ABE∽△OED得 ，即 。

∴ 。

∴顶点为 。

如图3，当 时，OE=x= ，此时E点有1个;

当 时，任取一个m的值都对应着两个x值，此时E点有2个.

∴当 时，E点只有1个，当 时，E点有2个。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质。

【分析】(1)利用待定系数法求出直线y=kx的解析式，根据A点坐标用勾股定理求出线段OA的长度。

(2)如图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H，构造相似三角形△QHM与△QGN，将线段QM与线段QN的长度之比转化为相似三角形的相似比，即 为定值.需要注意讨论点的位置不同时，这个结论依然成立。

(3)由已知条件角的相等关系∠BAE=∠BED=∠AOD，可以得到△ABE∽△OED。在相似三角形△ABE与△OED中，运用线段比例关系之前需要首先求出AB的长度，如图2，可以通过构造相似三角形，或者利用一次函数(直线)的性质求得AB的长度。设OE=x，则由相似边的比例关系可以得到m关于x的表达式 ，这是一个二次函数.借助此二次函数图象(如图3)，可见m在不同取值范围时，x的取值(即OE的长度，或E点的位置)有1个或2个。这样就将所求解的问题转化为分析二次函数的图象与性质问题。

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