1. (2012浙江杭州12分)如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°，AE=3 ，MN=2 .

(1)求∠COB的度数;

(2)求⊙O的半径R;

(3)点F在⊙O上( 是劣弧)，且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合.在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个?你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗?请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比.

【答案】解：(1)∵AE切⊙O于点E，∴AE⊥CE。

又∵OB⊥AT，∴∠AEC=∠CBO=90°，

又∵∠BCO=∠ACE，∴△AEC∽△OBC。

又∵∠A=30°，∴∠COB=∠A=30°。

(2)∵AE=3 ，∠A=30°，

∴在Rt△AEC中，tanA=tan30°= ，即EC=AEtan30°=3。

∵OB⊥MN，∴B为MN的中点。

又∵MN=2 ，∴MB= MN= 。

连接OM，在△MOB中，OM=R，MB= ，

∴ 。

在△COB中，∠BOC=30°，

∵cos∠BOC=cos30°= ，∴BO= OC。

∴ 。

又∵OC+EC=OM=R，

∴ 。

整理得：R2+18R﹣115=0，即(R+23)(R﹣5)=0，解得：R=﹣23(舍去)或R=5。

∴R=5。

(3)在EF同一侧，△COB经过平移、旋转和相似变换后，这样的三角形有6个，

如图，每小图2个，顶点在圆上的三角形，如图所示：

延长EO交圆O于点D，连接DF，如图所示，

△FDE即为所求。

∵EF=5，直径ED=10，可得出∠FDE=30°，

∴FD=5 。

则C△EFD=5+10+5 =15+5 ，

由(2)可得C△COB=3+ ，

∴C△EFD：C△COB=(15+5 )：(3+ )=5：1。

【考点】切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义，勾股定理，垂径定理，平移、旋转的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)由AE与圆O相切，根据切线的性质得到AE⊥CE，又OB⊥AT，可得出两直角相等，再由一对对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△AEC∽△OBC，根据相似三角形的对应角相等可得出所求的角与∠A相等，由∠A的度数即可求出所求角的度数。

(2)在Rt△AEC中，由AE及tanA的值，利用锐角三角函数定义求出CE的长，再由OB⊥MN，根据垂径定理得到B为MN的中点，根据MN的长求出MB的长，在Rt△OBM中，由半径OM=R，及MB的长，利用勾股定理表示出OB的长，在Rt△OBC中，由表示出OB及cos30°的值，利用锐角三角函数定义表示出OC，用OE﹣OC=EC列出关于R的方程，求出方程的解得到半径R的值。

(3)把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合.在EF的同一侧，这样的三角形共有6个。

顶点在圆上的三角形，延长EO与圆交于点D，连接DF，△FDE即为所求。

根据ED为直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到△FDE为直角三角形，由∠FDE为30°，利用锐角三角函数定义求出DF的长，表示出△EFD的周长，再由(2)求出的△OBC的三边表示出△BOC的周长，即可求出两三角形的周长之比。

2. (2012浙江湖州10分)已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DA=DC，以点D为圆心，DA长为半径的⊙D与AB相切于A，与BC交于点F，过点D作DE⊥BC，垂足为E.

(1)求证：四边形ABED为矩形;

(2)若AB=4， ，求CF的长.

【答案】(1)证明：∵⊙D与AB相切于点A，∴AB⊥AD。

∵AD∥BC，DE⊥BC，∴DE⊥AD。

∴∠DAB=∠ADE=∠DEB=90°。

∴四边形ABED为矩形。 (2)解：∵四边形ABED为矩形，∴DE=AB=4。

∵DC=DA，∴点C在⊙D上。

∵D为圆心，DE⊥BC，∴CF=2EC。

∵ ，设AD=3k(k>0)则BC=4k。∴BE=3k，EC=BC-BE=4k-3k=k，DC=AD=3k。

由勾股定理得DE2+EC2=DC2，即42+k2=(3k)2，∴k2=2。

∵k>0，∴k= 。∴CF=2EC=2 。

【考点】切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，待定系数法，垂径定理。

【分析】(1)根据AD∥BC和AB切圆D于A，求出DAB=∠ADE=∠DEB=90°，即可推出结论。

(2)根据矩形的性质求出AD=BE=AB=DE=4，根据垂径定理求出CF=2CE，设AD=3k，则BC=4k，BE=3k，EC=k，DC=AD=3k，在△DEC中由勾股定理得出一个关于k的方程，求出k的值，即可求出答案。

3. (2012浙江丽水、金华8分)如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD.

(1)求证：BD平分∠ABH;

(2)如果AB=12，BC=8，求圆心O到BC的距离.

【答案】(1)证明：连接OD，

∵EF是⊙O的切线，∴OD⊥EF。，

又∵BH⊥EF，∴OD∥BH。∴∠ODB=∠DBH。

∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD。∴∠OBD=∠DBH。

∴BD平分∠ABH。.

(2)解：过点O作OG⊥BC于点G，则BG=CG=4。

在Rt△OBG中， .

【考点】切线的性质，平行的判定和性质，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理。

【分析】(1)连接OD，根据切线的性质以及BH⊥EF，即可证得OD∥BC，然后根据等边对等角即可证得;

(2)过点O作OG⊥BC于点G，则利用垂径定理即可求得BG的长，然后在Rt△OBG中利用勾股定理即可求解。

4. (2012浙江宁波8分)如图，在△ABC中，BE是它的角平分线，∠C=90°，D在AB边上，以DB为

直径的半圆O经过点E，交BC于点F.

(1)求证：AC是⊙O的切线;

(2)已知sinA= ，⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积.

【答案】解：(1)连接OE。

∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB。

∵BE是△ABC的角平分线，∴∠OBE=∠EBC。

∴∠OEB=∠EBC。∴OE∥BC 。

∵∠C=90°，∴∠AEO=∠C=90° 。

∴AC是⊙O的切线。

(2)连接OF。

∵sinA= ，∴∠A=30° 。

∵⊙O的半径为4，∴AO=2OE=8。

∴AE=4 ，∠AOE=60°，∴AB=12。

∴BC= AB=6，AC=6 。∴CE=AC﹣AE=2 。

∵OB=OF，∠ABC=60°，∴△OBF是正三角形。

∴∠FOB=60°，CF=6﹣4=2。∴∠EOF=60°。

∴S梯形OECF= (2+4)×2 =6 ， S扇形EOF= 。

∴S阴影部分=S梯形OECF﹣S扇形EOF=6 ﹣ 。

【考点】切线的判定，等腰三角形的性质，平行的判定和性质，特殊角的三角函数值，扇形面积的计算。

【分析】(1)连接OE.根据OB=OE得到∠OBE=∠OEB，然后再根据BE是△ABC的角平分线得到∠OEB=∠EBC，从而判定OE∥BC，最后根据∠C=90°得到∠AEO=∠C=90°证得结论AC是⊙O的切线。

(2)连接OF，利用S阴影部分=S梯形OECF-S扇形EOF求解即可。

4. (2012浙江衢州8分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F.

(1)求证：AC是⊙O的切线;

(2)已知AB=10，BC=6，求⊙O的半径r.

【答案】(1)证明：连接OD。

∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB。

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC

∴∠ODB=∠DBC。∴OD∥BC。

又∵∠C=90°，∴∠ADO=90°。

∴AC⊥OD，即AC是⊙O的切线。

(2)解：由(1)知，OD∥BC，∴△AOD∽△ABC。

∴ ，即 。

解得 ，即⊙O的半径r为 。

【考点】切线的判定，等腰三角形的性质，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)连接OD.欲证AC是⊙O的切线，只需证明AC⊥OD即可。

(2)利用平行线知△AOD∽△ABC，即 ;然后将图中线段间的和差关系代入该比例式，通过解方程即可求得r的值，即⊙O的半径r的值。

5. (2012浙江温州10分)如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上的一点，且∠A=2∠DCB.E是BC上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D。

(1)求证:AB是⊙O的切线;

(2)若CD的弦心距为1,BE=EO.求BD的长.

【答案】(1)证明：如图，连接OD，

∵OD=OC，∴∠DCB=∠ODC。

又∵∠DOB和∠DCB为弧 所对的圆心角和圆周角，

∴∠DOB =2∠DCB。

又∵∠A=2∠DCB，∴∠A=∠DOB。

∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°。∴∠DOB+∠B=90°。∴∠BDO=90°。∴OD⊥AB。

∴AB是⊙O的切线。

(2)如图，过点O作OM⊥CD于点M，

∵OD=OE=BE= BO，∠BDO=90°，∴∠B=30°。∴∠DOB=60°。

∵OD=OC，∴∠DCB=∠ODC。

又∵∠DOB和∠DCB为弧 所对的圆心角和圆周角，∴∠DOB =2∠DCB。

∴∠DCB=30°。

∵在Rt△OCM中，∠DCB=30°，OM=1，∴OC=2OM=2。

∴OD=2，BO=BE+OE=2OE=4。

∴在Rt△BDO中，根据勾股定理得： 。

【考点】切线的判定，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，三角形内角和定理。

【分析】(1)连接OD，由OD=OC，根据等边对等角得到一对角相等，再由同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，可得出∠DOB=2∠DCB。又∠A=2∠DCB，可得出∠A=∠DOB，又∠ACB=90°，可得出直角三角形ABC中两锐角互余，等量代换可得出∠B与∠ODB互余，即OD垂直于BD，确定出AB为圆O的切线。

(2)过O作OM垂直于CD，根据垂径定理得到M为DC的中点，由BD垂直于OD，得到三角形BDO为直角三角形，再由BE=OE=OD，得到OD等于OB的一半，可得出∠B=30°，从而确定出

∠DOB=60°，又OD=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，可得出∠DOB=2∠DCB。可得出∠DCB=30°，在三角形CMO中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得到OC=2OM，由弦心距OM的长求出OC的长，从而确定出OD及OB的长，利用勾股定理即可求出BD的长。

本题另解：如图，过O作OM垂直于CD，连接ED，由垂径定理得到M为CD的中点，又O为EC的中点，得到OM为三角形EDC的中位线，利用三角形中位线定理得到OM等于ED的一半，由弦心距OM的长求出ED的长，再由BE=OE，得到ED为直角三角形DBO斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由DE的长求出OB的长，再由OD及OB的长，利用勾股定理即可求出BD的长。

6. (2012浙江义乌8分)如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°.

(1)求∠ABC的度数;

(2)求证：AE是⊙O的切线;

(3)当BC=4时，求劣弧AC的长.

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