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13.如图 ，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，已知二次函数的图象经过点 、 和点 .

(1)求该二次函数的关系式;

(2)设该二次函数的图象的顶点为 ，求四边形 的面积;

(3)有两动点 、 同时从点 出发，其中点 以每秒 个单位长度的速度沿折线 按 → → 的路线运动，点 以每秒 个单位长度的速度沿折线 按 → → 的路线运动，当 、 两点相遇时，它们都停止运动.设 、 同时从点 出发 秒时， 的面积为S .

①请问 、 两点在运动过程中，是否存在 ∥ ，若存在，请求出此时 的值;若不存在，请说明理由;

②请求出S关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围;

③设 是②中函数S的最大值，那么 = .

解：(1)令 ，则 ;

令 则 .∴ . ∵二次函数的图象过点 ，

∴可设二次函数的关系式为

又∵该函数图象过点 . ∴ 解之，得 ， .

∴所求二次函数的关系式为

(2)∵ = ∴顶点M的坐标为

过点M作MF 轴于F

∴ = ∴四边形AOCM的面积为10

(3)①不存在DE∥OC

∵若DE∥OC，则点D，E应分别在线段OA，CA上，此时 ，在 中， .

设点E的坐标为 ∴ ，∴ ∵ ，

∴ ∴

∵ >2，不满足 .

∴不存在 .

②根据题意得D，E两点相遇的时间为

(秒)

现分情况讨论如下：

ⅰ)当 时， ;

ⅱ)当 时，设点E的坐标为 ∴ ，∴ ∴

ⅲ)当2 < < 时，设点E的坐标为 ，类似ⅱ可得 设点D的坐标为 ∴ ，

∴ ∴ =

③ 14.已知：如图，抛物线 经过 、 、 三点.

(1)求抛物线的函数关系式;

(2)若过点C的直线 与抛物线相交于点E (4，m)，请求出△CBE的面积S的值;

(3)在抛物线上求一点 使得△ABP0为等腰三角形并写出 点的坐标;

(4)除(3)中所求的 点外，在抛物线上是否还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形?若存在，请求出一共有几个满足条件的点 (要求简要说明理由，但不证明);若不存在这样的点 ，请说明理由.

解：(1)∵抛物线经过点 、 ，

∴ .

又∵抛物线经过点 ，

∴ ， .

∴抛物线的解析式为 .

(2)∵E点在抛物线上，

∴m = 42–4×6+5 = -3.

∵直线y = kx+b过点C(0， 5)、E(4， –3)，

∴ 解得k = -2，b = 5.

设直线y=-2x+5与x轴的交点为D，

当y=0时，-2x+5=0，解得x= .

∴D点的坐标为( ，0).

∴S=S△BDC + S△BDE

= =10.

(3)∵抛物线的顶点 既在抛物线的对称轴上又在抛物线上，

∴点 为所求满足条件的点.

(4)除 点外，在抛物线上还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形.

理由如下：

∵ ，

∴分别以 、 为圆心半径长为4画圆，分别与抛物线交于点 、 、 、 、 、 、 、 ，除去 、 两个点外，其余6个点为满足条件的点

15.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.

(1)求点B的坐标;

(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式;

(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小?若存在，求出点C的坐标;若不存在，请说明理由;

(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积?若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积;若没有，请说明理由.

(注意：本题中的结果均保留根号)

解：(1)过点B作BD⊥x轴于点D，由已知可得：

OB=OA=2，∠BOD=60°

在Rt△OBD中，∠ODB=90°，∠OBD=30°

∴OD=1，DB= ∴点B的坐标是(1， )

(2)设所求抛物线的解析式为 ，由已知可得：

解得： ∴所求抛物线解析式为

(备注：a、b的值各得1分)

(3)存在

由 配方后得： ∴抛物线的对称轴为

(也可用顶点坐标公式求出)

∵点C在对称轴 上，△BOC的周长=OB+BC+CO;

∵OB=2，要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小，

∵点O与点A关于直线 对称，有CO=CA

△BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA

∴当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，BC+CA最小，此时△BOC的周长最小。

设直线AB的解析式为 ，则有： 解得： ∴直线AB的解析式为 当 时， ∴所求点C的坐标为(-1， )

(4)设P ( )，则 ①

过点P作PQ⊥y轴于点Q， PG⊥x轴于点G，过点A作AF⊥PQ轴于点F，过点B作BE⊥PQ轴于点E，则PQ= ，PG= ，由题意可得：

= = = ②

将①代入②，化简得：

= ∴当 时，△PAB得面积有最大值，最大面积为 。

此时 ∴点P的坐标为

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