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2016年中考数学第一次模拟试题(备考)

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2016-04-21

15.解:(1)设此抛物线的解析式为y=a(x-3)2+4,

此抛物线过点A(0,-5),

∴-5=a(0-3)2+4,∴a=-1.

∴抛物线的解析式为y=-(x-3)2+4,

即y=-x2+6x-5.

(2)抛物线的对称轴与⊙C相离.

证明:令y=0,即-x2+6x-5=0,得x=1或x=5,

∴B(1,0),C(5,0).

设切点为E,连接CE,

由题意,得,Rt△ABO∽Rt△BCE.

∴ABBC=OBCE,即12+524=1CE,

解得CE=426.

∵以点C为圆心的圆与直线BD相切,⊙C的半径为r=d=426.

又点C到抛物线对称轴的距离为5-3=2,而2>426.

则此时抛物线的对称轴与⊙C相离.

(3)假设存在满足条件的点P(xp,yp),

∵A(0,-5),C(5,0),

∴AC2=50,

AP2=(xp-0)2+(yp+5)2=x2p+y2p+10yp+25,CP2=(xp-5)2+(yp-0)2=x2p+y2p-10xp+25.

①当∠A=90°时,在Rt△CAP中,

由勾股定理,得AC2+AP2=CP2,

∴50+x2p+y2p+10yp+25=x2p+y2p-10xp+25,

整理,得xp+yp+5=0.

∵点P(xp,yp)在抛物线y=-x2+6x-5上,

∴yp=-x2p+6xp-5.

∴xp+(-x2p+6xp-5)+5=0,

解得xp=7或xp=0,∴yp=-12或yp=-5.

∴点P为(7,-12)或(0,-5)(舍去).

②当∠C=90°时,在Rt△ACP中,

由勾股定理,得AC2+CP2=AP2,

∴50+x2p+y2p-10xp+25=x2p+y2p+10yp+25,

整理,得xp+yp-5=0.

∵点P(xp,yp)在抛物线y=-x2+6x-5上,

∴yp=-x2p+6xp-5,

∴xp+(-x2p+6xp-5)-5=0,

解得xp=2或xp=5,∴yp=3或yp=0.

∴点P为(2,3)或(5,0)(舍去)

综上所述,满足条件的点P的坐标为(7,-12)或(2,3).

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