(2)判断出△BCD是等腰直角三角形，然后根据梯形的面积求出CD的长，再根据等腰直角三角形的性质求出DN，即可得解.

解答： (1)证明：∵点A、F关于BD对称，

∴AD=DF，DE⊥AF，

又∵AD⊥DC，

∴△ADF、△DEF是等腰直角三角形，

∴∠DAF=∠EDF=45°，

∵AD∥BC，

∴∠G=∠GAF=45°，

∴△BGE是等腰直角三角形，

∵M，N分别是BG，DF的中点，

∴EM⊥BC，EN⊥CD，

又∵AD∥BC，AD⊥DC，

∴BC⊥CD，

∴四边形EMCN是矩形;

(2)解：由(1)可知，∠EDF=45°，BC⊥CD，

∴△BCD是等腰直角三角形，

∴BC=CD，

∴S梯形ABCD= (AD+BC)•CD= (2+CD)•CD= ，

即CD2+2CD﹣15=0，

解得CD=3，CD=﹣5(舍去)，

∵△ADF、△DEF是等腰直角三角形，

∴DF=AD=2，

∵N是DF的中点，

∴EN=DN= DF= ×2=1，

∴CN=CD﹣DN=3﹣1=2，

∴矩形EMCN的长和宽分别为2，1.

点评： 本题考查了直角梯形的性质，轴对称的性质，矩形的判定，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质判断出相关的等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点.

16、(13年北京7分24)在△ABC中，AB=AC，∠BAC= ( )，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD。

(1)如图1，直接写出∠ABD的大小(用含 的式子表示);

(2)如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明;

(3)在(2)的条件下，连结DE，若∠DEC=45°，求 的值。

解析：【解析】(1)

(2) 为等边三角形

证明连接 、 、

∵线段 绕点 逆时针旋转 得到线段

则 ，

又∵

∴

且 为等边三角形.

在 与 中

∴ ≌ (SSS)

∴

∵

∴

在 与 中

∴ ≌ (AAS)

∴

∴ 为等边三角形

(3)∵ ，

∴

又∵

∴ 为等腰直角三角形

∴

∵

∴

而

∴

【点评】本题是初中数学重要模型“手拉手”模型的应用，从本题可以看出积累掌握常见模

型、常用辅助线对于平面几何的学习是非常有帮助的.

考点：几何综合(等边三角形、等腰直角三角形、旋转全等、对称全等、倒角)

17、(13年山东青岛、24压轴题)已知，如图，□ABCD中，AD=3cm，CD=1cm，∠B=45°，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为3cm/s;点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接并延长QP交BA的延长线于点M，过M作MN⊥BC，垂足是N，设运动时间为t(s)(0

(1)当t为何值时，四边形AQDM是平行四边形?

(2)设四边形ANPM的面积为 (cm²)，求y与t之间的函数关系式;

(3) 是否存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是□ABCD面积的一半，若存在，求出相应的t值，若不存在，说明理由

(4)连接AC，是否存在某一时刻t，使NP与AC的交点把线段AC分成 的两部分?若存在，求出相应的t值，若不存在，说明理由

解析：

解得：t= ，

当AE：EC=1： 时，

同理可得： ，即 ，解得：t= ，

答：当t= 或t= 时，NP与AC的交点把线段AC分成 的两部分

18、(2013年佛山市压轴题)我们知道，矩形是特殊的平行四边形，所以矩形除了具备平行四边形的一切性质还有其特殊的性质;同样，

黄金矩形是特殊的矩形，因此黄金矩形有与一般矩形不一样的知识.

已知平行四边形ABCD，∠A=60°，AB=2a，AD=a.

(3) 把所给的平行四边形ABCD用两种方式分割并作说明

(见题答卡表格里的示例);

要求：用直线段分割，分割成的图形是学习过的特殊图形且不超出四个.

(4) 图中关于边、角和对角线会有若干关系或问题.现在请计算两条对角线的长度.

要求：计算对角线BD长的过程中要有必要的论证;直接写出对角线AC的长.

解：在表格中作答

分割图形       分割或图形说明

示例

示例①分割成两个菱形。

②两个菱形的边长都为a,锐角都为60°。