评析 在这样的例题教学中,倘若学生因缺乏空间想象感而陷入困境,不妨花点时间让学生去动动手、折折纸,从体验中去感悟运动中包含不变关系(特别指一些垂直关系的不变性),从体验中去培养学生的空间想象能力.

当然,这里可能还会有另外一种观点:对于高中学生我们需要培养学生思维的深刻性,要求学生具有较好的空间想象能力和抽象思维能力,而一味的折纸、一味的操作、一味的浅层次思维可能会影响学生这些能力的培养.显然,这种观点也不无道理.所以,笔者在此特指的是在立体几何入门教学中,培养学生的空间感应是一个循序渐进的过程,思维需要逐步深刻,倘若,操之过急势必物极必反.待学生有一定空间想象能力之后,再力求深层思维更佳.

3 归纳与类比地认识问题

归纳法与类比法是人们认识事物的最基本方法之一,它们既是一种思维形式,也是一种推理方法,它们在人们认识和改造客观世界的活动中具有重要意义,正如数学家拉普拉斯所说:数学本身赖以获得真理的重要手段就是归纳和类比.立体几何中,归纳与类比同样是获得新知、认识新问题的好方法.

类比法在立体几何教学中,体现出来的是局部与整体相结合的教学方法.例如,在线面平行、面面平行的教学中,整个框架的展开为:由线面平行判定定理至线面平行性质定理,再类比到面面平行判定定理至面面平行性质定理,这是一个“平行的局部世界”;但我们不妨将这个“局部世界”类比推广开去,即在开展线面垂直、面面垂直的教学中,也是由判定定理的学习到性质定理的学习,这是“垂直的局部世界”,而这两个局部世界构成了“判定与性质这个整体世界”.再比如,在空间角的学习中,即是由线线角、线面角再至面面角,从“一维角”类比到“二维角”的学习,而后再整体思考时可以发现这些角的本质都是转化为线线角.

归纳法在立体几何教学中,体现出来的是特殊与一般地关系,往往通过对特殊位置的研究可以归纳猜想出一般位置的情况.

立体教学中,运用归纳与类比的方法认识立体几何问题,有助于学生抓住整个立体几何的线索、理清知识展开的脉络、把握知识推理的关系,进而能培养学生从一定的高度认识问题、分析问题、解决问题,达到一览众山小的境界.

4 简单到复杂地认识问题

事物的发展往往是由简单到复杂,所谓“一生二,二生三,三生万物”即是如此;而复杂之后人们又在不断追求着简单,所谓“大道至简”便是体现.简单中蕴含了事物的简练性、朴素性,复杂中蕴含了事物的发展性、整合性.立体几何教学中,同样需要渗透由简单到复杂的数学思想,让学生能循序渐进的认识事物,而简单到复杂的终极目标该是为了使学生能从复杂背景中把握简单地本质,从复杂中发现简单地方法要领,也即“深入浅出”.

那么,如何在立几教学中展开深入浅出的教学呢?立足于立体几何结构的特征,可以通过变式教学等方式对立体几何结构的由简单到复杂的进行变化与呈现,从而去发现复杂几何结构中蕴含的简单本质与一般性方法.

例3 在人教版必修二中有这样的一个探究题:如图3,已知PA⊥平面ABC,且BCAB⊥,问图中有哪些平面互相垂直?