高三数学教案设计案例：数列的前n项和

一、课前检测

1.在数列{an}中，an=1n+1+2n+1+…+nn+1，又bn=2an•an+1，求数列{bn}的前n项的和.

解：由已知得：an=1n+1(1+2+3+…+n)=n2，

bn=2n2•n+12=8(1n-1n+1) ∴数列{bn}的前n项和为

Sn=8[(1-12)+(12-13)+(13-14)+…+(1n-1n+1)]=8(1-1n+1)=8nn+1.

2.已知在各项不为零的数列 中， 。

(1)求数列 的通项;

(2)若数列 满足 ，数列 的前 项的和为 ，求

解：(1)依题意， ，故可将 整理得：

所以 即

，上式也成立，所以

(2)

二、知识梳理

(一)前n项和公式Sn的定义：Sn=a1+a2+…an。

(二)数列求和的方法(共8种)

5.错位相减法：适用于差比数列(如果 等差， 等比，那么 叫做差比数列)即把每一项都乘以 的公比 ，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。

如：等比数列的前n项和就是用此法推导的.

解读：

6.累加(乘)法

解读：

7.并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.

形如an=(-1)nf(n)类型，可采用两项合并求。

解读：

8.其它方法：归纳、猜想、证明;周期数列的求和等等。

解读：

三、典型例题分析

题型1 错位相减法

例1 求数列 前n项的和.

解：由题可知{ }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ }的通项之积

设 ①

② (设制错位)

①-②得 (错位相减)

∴

变式训练1 (2010•昌平模拟)设数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=n3，n∈N*.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设bn=nan，求数列{bn}的前n项和Sn.

解：(1)∵a1+3a2+32a3+…+3n-1an=n3， ①

∴当n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1=n-13. ②

①-②得3n-1an=13，an=13n.

在①中，令n=1，得a1=13，适合an=13n， ∴an=13n.