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描点、连线.画出以上五个函数的图象如图1.

图1

让学生通过观察图象，分组讨论，探究幂函数的性质和图象的变化规律，教师注意引导学生用类比研究指数函数、对数函数的方法研究幂函数的性质.

通过观察图象，完成表格.

(5)第一象限一定有幂函数的图象;第四象限一定没有幂函数的图象;而第二、三象限可能有，也可能没有图象，这时可以通过幂函数的定义域和奇偶性来判断.

(6)幂函数y=xα的性质.

①所有的幂函数在(0，+∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)(原因：1x=1);

②当α>0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞)上是增函数(从左往右看，函数图象逐渐上升).

特别地，当α>1时，x∈(0,1)，y=xα的图象都在y=x图象的下方，形状向下凸，α越大，下凸的程度越大.

当0<α<1时，x∈(0,1)，y=xα的图象都在y=x的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大.

③当α<0时，幂函数的图象在区间(0，+∞)上是减函数.

思路1

应用示例

例1 判断下列函数哪些是幂函数.

①y=0.2x;②y=x-3;③y=x-2;④y= .

活动：学生独立思考，讨论回答，教师巡视引导，及时评价学生的回答.根据幂函数的定义判别，形如y=xα的函数称为幂函数，变量x的系数为1，指数α是一个常数，严格按这个标准来判断.

解：①y=0.2x的底数是0.2，因此不是幂函数;

②y=x-3的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数;

③y=x-2的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数;

④y= 的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数.

点评：判断函数是否是幂函数要严格按定义来判断.

变式训练

判别下列函数中有几个幂函数?

① ;②y=2x2;③ ;④y=x2+x;⑤y=-x3.

解：①③的底数是变量，指数是常数，因此①③是幂函数;

②的变量x2的系数为2，因此不是幂函数;

④的变量是和的形式 ，因此也不是幂函数;

⑤的变量x3的系数为-1，因此不是幂函数.

例2 求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性.

(1) ;(2) ;(3)y=x-2.

活动：学生思考，小组讨论，教师引导，学生展示思维过程，教师评价.根据你的学习经历，回顾求一个函数的定义域的方法，判断函数奇偶性、单调性的方法.判断函数奇偶性、单调性的方法，一般用定义法.解决有关函数求定义域的问题时，可以从以下几个方面来考虑：列出相应不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可得到所求函数的定义域.

解：(1)要使函数 有意义，只需y=3x2有意义，即x∈R.所以函数 的定义域是x∈R.又f(-x)=f(x)，所以函数 是偶函数，它在(-∞，0]上是减函数，在[0，+∞)上是增函数.

(2)要使函数 有意义，只需y=12x3有意义，即x∈R+，所以函数 的定义域是R+，由于函数 的定义域不关于原点对称，所以函数 是非奇非偶函数，它在(0，+∞)上是减函数.

(3)要使函数y=x-2有意义，只需y=1x2有意义，即x≠0，所以函数y=x-2的定义域是x≠0，又f(-x)=f(x)，所以函数y=x-2是偶函数，它在(-∞，0)上是增函数，在(0，+∞)上是减函数.

点评：在函数解析式中含有分数指数时，可以把它们的解析式化成根式，根据“偶次根号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域;当函数解析式的幂指数为负数时，根据负指数幂的意义将其转化为分式形式，根据分式的分母不能为0这一限制条件来求出对应函数的定义域，求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组.

例3 证明幂函数f(x)=x在[0，+∞)上是增函数.

活动：学生先思考或讨论，再回答，教师根据实际，可以提示引导.证明函数的单调性一般用定义法，有时利用复合函数的单调性.

证明：任取x1，x2∈[0，+∞)，且x10，所以x1-x2x1+x2<0.所以f(x1)

点评：证明函数的单调性要严格按步骤和格式书写，利用作商的方法比较大小，f(x1)与f(x2)的符号要一致.

思路2

例1 函数y= 的定义域是(　　)

A.{x|x≠0，或x≠2}         B.(-∞，0)∪(2，+∞)

C.(-∞，0]∪[2，+∞)     D.(0,2)

解析：函数y= 化为y=1x2-2x，要使函数有意义需x2-2x>0，即x>2或x<0，所以函数的定义域为{x|x>2，或x<0}.

答案：B

通过对高一上册数学教案范文的学习，希望对老师有所帮助，提供更多的教学参考内容。

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