师：观察一下几何图形，从代数的角度考虑看看有没有新的发现?

生：直线与圆的交点个数不同呀!

师：很棒!已知直线和圆的方程，直线与圆的交点个数如何转化为代数形式，和方程如何联系起来呢?把几何形式的问题转化为代数形式是解析几何的解题思想，即就是把曲线有无交点转化为方程有无实根的问题，把曲线的交点个数转化为方程组的根的个数的问题，一般通过联立方程研究一元二次方程根的问题。

师：如何运用数学语言描述一元二次方程的根?

生：常用判别式研究一元二次方程根的个数。

师：非常好!我们可以从代数的角度利用一元二次方程的判别式判断直线与圆的位置关系，这种方法叫做代数法。

[知识应用·典例剖析]

例1：判断直线x-y+2=0与圆 (x-2)2+(y-2)2=1的位置关系。

分析：用几何法判断关键是找对圆心，利用点到直线距离公式，求解此题也可用代数法

来解决。

解法2：(代数法)联立

得2x2-4x+3=0

由△=(- 4)2-4×2×3= - 8<0

故直线与圆相离。

总结：消去变量y得关于x的一元二次方程,根据判别式，判断一元二次方程根的情况，从而得出结论。

例2：判断直线x+y+1=0与圆x2+y2-2y-3=0的位置关系。

分析：从直线与圆的交点个数来考查，利用代数法求解。将圆的一般方程化为标准方程用几何法求解。

解法1：联立

得y2-1=0

由△=02-4×(-1) = 4>0

故直线与圆相交。

[反思总结] 圆的相关问题可以从几何图形去考虑，并归结为圆心及半径的问题，进行相关计算求解，比较d与r的大小，即几何法。也可联立方程，利用方程组解决，消去一个变量将方程组化为一个一元二次方程，再利用一元二次方程的判别式判断直线与圆的位置关系，直线与圆相离 方程没有实数解 △<0，直线与圆相切 方程有一个实数解 △=0，直线与圆相交 方程有两个实数解△>0，即代数法。请同学们独立完成以下小结。

[小结] 直线与圆的位置关系

几何法：直线：Ax+By+C=0

圆：

d=

直线与圆相离 d>r

直线与圆相交 d=r

直线与圆相切 d

代数法：直线：A x +B y+ C=0

圆：

联立：

削去y，得ax2+bx+c=0

且判别式△=b2-4ac

直线与圆相离 方程没有实数解 △<0

直线与圆相切 方程有一个实数解 △=0

直线与圆相交 方程有两个实数解 △>0

例3：已知圆的方程是x2+y2=2，当b为何值时，直线y= -x + b与圆有两个交点;有一个

交点;没有交点?

分析：直线与圆的位置关系问题，可利用二次方程根的判别式的知识，采用待定系数法来确定圆的切线方程，此方法还可以扩展到求其他圆锥曲线的切线及相交问题。

解法1：联立

得2x2-2bx+b2-2=0

△= (-2b) 2 -4×2 (b2-2) = -4b2+16

当△>0，即-2

当△=0，即b=2或-2时，直线与圆相切，直线与圆有一个交点。

当△<0，即b<-2或b>2时，直线与圆相离，直线与圆没有交点。

解法2：圆心C(0,0) 到 x + y-b=0的距离为：

当d

当d=r，即b=2或-2时，直线与圆相切，直线与圆有一个交点。

当d>r，即b<-2或b>2时，直线与圆相离，直线与圆没有交点。

[练习]判断以下直线与圆的位置关系。

1.x-2y+5=0与 (x-2)2+(y-2)2=1

2.y= -2x 与 x2+y2-4x-2y=0

3.y=-x-1与x2+y2-2y-24=0

答案：1.相离  2.相切   3.相交

[学生回顾]

1、本节课你学会了什么?

2、本节课运用了哪些数学思想和方法?

[布置作业]

1.课本P107　2、4

2.直线x=a(a>0)与圆(x-1)2+y2=4相切，求a的取值范围。

3.若直线(1+a)x+y+1=0与圆 x2+y2-2x=0 相切，求a的取值范围。

[课堂小结]1.判断直线与圆的位置关系：几何法、代数法

2.能用待定系数法解决直线与圆的位置关系。

[板书设计]略

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