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高中数学学习方法:函数的综合问题

编辑:sx_wangha

2012-08-20

●知识梳理

函数的综合应用主要体现在以下几方面:

1.函数内容本身的相互综合,如函数概念、性质、图象等方面知识的综合.

2.函数与其他数学知识点的综合,如方程、不等式、数列、解析几何等方面的内容与函数的综合.这是高考主要考查的内容.

3.函数与实际应用问题的综合.

●点击双基

1.已知函数f(x)=lg(2x-b)(b为常数),若x∈[1,+∞)时,f(x)≥0恒成立,则

A.b≤1      B.b<1      C.b≥1      D.b=1

解析:当x∈[1,+∞)时,f(x)≥0,从而2x-b≥1,即b≤2x-1.而x∈[1,+∞)时,2x-1单调增加,

∴b≤2-1=1.

答案:A

2.若f(x)是R上的减函数,且f(x)的图象经过点A(0,3)和B(3,-1),则不等式|f(x+1)-1|<2的解集是___________________.

解析:由|f(x+1)-1|<2得-2

又f(x)是R上的减函数,且f(x)的图象过点A(0,3),B(3,-1),

∴f(3)

∴0

答案:(-1,2)

●典例剖析

【例1】 取第一象限内的点P1(x1,y1),P2(x2,y2),使1,x1,x2,2依次成等差数列,1,y1,y2,2依次成等比数列,则点P1、P2与射线l:y=x(x>0)的关系为

A.点P1、P2都在l的上方     B.点P1、P2都在l上

C.点P1在l的下方,P2在l的上方   D.点P1、P2都在l的下方

剖析:x1= +1= ,x2=1+ = ,y1=1× = ,y2= ,∵y1

∴P1、P2都在l的下方.

答案:D

【例2】 已知f(x)是R上的偶函数,且f(2)=0,g(x)是R上的奇函数,且对于x∈R,都有g(x)=f(x-1),求f(2002)的值.

解:由g(x)=f(x-1),x∈R,得f(x)=g(x+1).又f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),

故有f(x)=f(-x)=g(-x+1)=-g(x-1)=-f(x-2)=-f(2-x)=-g(3-x)=

g(x-3)=f(x-4),也即f(x+4)=f(x),x∈R.

∴f(x)为周期函数,其周期T=4.

∴f(2002)=f(4×500+2)=f(2)=0.

评述:应灵活掌握和运用函数的奇偶性、周期性等性质.

【例3】 函数f(x)= (m>0),x1、x2∈R,当x1+x2=1时,f(x1)+f(x2)= .

(1)求m的值;

(2)数列{an},已知an=f(0)+f( )+f( )+…+f( )+f(1),求an.

解:(1)由f(x1)+f(x2)= ,得 + = ,

∴4 +4 +2m= [4 +m(4 +4 )+m2].

∵x1+x2=1,∴(2-m)(4 +4 )=(m-2)2.

∴4 +4 =2-m或2-m=0.

∵4 +4 ≥2 =2 =4,

而m>0时2-m<2,∴4 +4 ≠2-m.

∴m=2.

(2)∵an=f(0)+f( )+f( )+…+f( )+f(1),∴an=f(1)+f( )+ f( )+…+f( )+f(0).

∴2an=[f(0)+f(1)]+[f( )+f( )]+…+[f(1)+f(0)]= + +…+ = .

∴an= .

深化拓展

用函数的思想处理方程、不等式、数列等问题是一重要的思想方法.

【例4】 函数f(x)的定义域为R,且对任意x、y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-2.

(1)证明f(x)是奇函数;

(2)证明f(x)在R上是减函数;

(3)求f(x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值.

(1)证明:由f(x+y)=f(x)+f(y),得f[x+(-x)]=f(x)+f(-x),∴f(x)+ f(-x)=f(0).又f(0+0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0.从而有f(x)+f(-x)=0.

∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.

(2)证明:任取x1、x2∈R,且x1

∴-f(x2-x1)>0,即f(x1)>f(x2),从而f(x)在R上是减函数.

(3)解:由于f(x)在R上是减函数,故f(x)在[-3,3]上的最大值是f(-3),最小值是f(3).由f(1)=-2,得f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=3×(-2)=-6,f(-3)=-f(3)=6.从而最大值是6,最小值是-6.

深化拓展

对于任意实数x、y,定义运算x*y=ax+by+cxy,其中a、b、c是常数,等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.现已知1*2=3,2*3=4,并且有一个非零实数m,使得对于任意实数x,都有x*m=x,试求m的值.

提示:由1*2=3,2*3=4,得

∴b=2+2c,a=-1-6c.

又由x*m=ax+bm+cmx=x对于任意实数x恒成立,

∴ ∴b=0=2+2c.

∴c=-1.∴(-1-6c)+cm=1.

∴-1+6-m=1.∴m=4.

答案:4.

标签:学习方法

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