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高中数学有关平面向量的公式的知识点

编辑:sx_wangha

2012-09-14

定比分点

定比分点公式(向量P1P=λ•向量PP2)

设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ,使 向量P1P=λ•向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。

若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有

OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)

x=(x1+λx2)/(1+λ),

y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分点坐标公式)

我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式

三点共线定理

若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线

三角形重心判断式

在△ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心

[编辑本段]向量共线的重要条件

若b≠0,则a//b的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb。

a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。

零向量0平行于任何向量。

[编辑本段]向量垂直的充要条件

a⊥b的充要条件是 a•b=0。

a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0。

零向量0垂直于任何向量.

设a=(x,y),b=(x',y')。

1、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x',y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律:

交换律:a+b=b+a;

结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0

AB-AC=CB. 即“共同起点,指向被减”

a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').

4、数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。

当λ>0时,λa与a同方向;

当λ<0时,λa与a反方向;

当λ=0时,λa=0,方向任意。

当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。

注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;

当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律

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