(1)y=cosu,u=1+ (2)y=lnu, u=lnx

解析：(1)y=cos(1+ );

(2)y=ln(lnx)。

点评：通过对y=(3x-2 展开求导及按复合关系求导，直观的得到 = . .给出复合函数的求导法则，并指导学生阅读法则的证明。

题型3：导数的几何意义

例5.(1)若曲线 的一条切线 与直线 垂直，则 的方程为( )

A. B. C. D.

(2)过点(-1，0)作抛物线 的切线，则其中一条切线为( )

(A) (B) (C) (D)

解析：(1)与直线 垂直的直线 为 ，即 在某一点的导数为4，而 ，所以 在(1，1)处导数为4，此点的切线为 ，故选A;

(2) ，设切点坐标为 ，则切线的斜率为2 ，且 ，于是切线方程为 ，因为点(-1，0)在切线上，可解得 =0或-4，代入可验正D正确，选D。

点评：导数值对应函数在该点处的切线斜率。

例6.(1)半径为r的圆的面积S(r)= r2,周长C(r)=2 r，若将r看作(0，+∞)上的变量，则( r2)`=2 r ○1，○1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0，+∞)上的变量，请你写出类似于○1的式子： ○2;○2式可以用语言叙述为： 。

(2)曲线 和 在它们交点处的两条切线与 轴所围成的三角形面积是 。

解析：(1)V球= ，又 故○2式可填 ，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数。”;

(2)曲线 和 在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=-x+2和y=2x-1，它们与 轴所围成的三角形的面积是 。

点评：导数的运算可以和几何图形的切线、面积联系在一起，对于较复杂问题有很好的效果。

题型4：借助导数处理单调性、极值和最值

例7.(1)对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x-1) 0，则必有( )

A.f(0)+f(2)2f(1) B. f(0)+f(2)2f(1)

C.f(0)+f(2)2f(1) D. f(0)+f(2)2f(1)

(2)函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的图象如图所示，则函数 在开区间 内有极小值点(　 )

A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个

(3)已知函数 。(Ⅰ)设 ，讨论 的单调性;(Ⅱ)若对任意 恒有 ，求 的取值范围。

解析：(1)依题意，当x1时，f(x)0，函数f(x)在(1，+)上是增函数;当x1时，f(x)0，f(x)在(-，1)上是减函数，故f(x)当x=1时取得最小值，即有f(0)f(1)，f(2)f(1)，故选C;

(2)函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的图象如图所示，函数 在开区间 内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A。

(3)：(Ⅰ)f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞).对f(x)求导数得 f '(x)= ax2+2-a(1-x)2 e-ax。

(ⅰ)当a=2时, f '(x)= 2x2(1-x)2 e-2x, f '(x)在(-∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于0, 所以f(x)在(-∞,1), (1,+∞).为增函数;

(ⅱ)当0

当x变化时, f '(x)和f(x)的变化情况如下表:

x (-∞, -a-2a)

(-a-2a,a-2a) (a-2a,1) (1,+∞)

f '(x) + - + +

f(x) ↗ ↘ ↗ ↗

f(x)在(-∞, -a-2a), (a-2a,1), (1,+∞)为增函数, f(x)在(-a-2a,a-2a)为减函数。

(Ⅱ)(ⅰ)当0f(0)=1;

(ⅱ)当a>2时, 取x0= 12 a-2a∈(0,1),则由(Ⅰ)知 f(x0)

(ⅲ)当a≤0时, 对任意x∈(0,1),恒有1+x1-x >1且e-ax≥1，

得：f(x)= 1+x1-xe-ax≥1+x1-x >1. 综上当且仅当a∈(-∞,2]时,对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1。

点评：注意求函数的单调性之前，一定要考虑函数的定义域。导函数的正负对应原函数增减。

例8.(1) 在区间 上的最大值是( )

(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4

(2)设函数f(x)= (Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)讨论f(x)的极值。

解析：(1) ，令 可得x=0或2(2舍去)，当-1x0时， 0，当0x1时， 0，所以当x=0时，f(x)取得最大值为2。选C;

(2)由已知得 ，令 ，解得 。

(Ⅰ)当 时， ， 在 上单调递增;

当 时， ， 随 的变化情况如下表：

极大值

极小值

从上表可知，函数 在 上单调递增;在 上单调递减;在 上单调递增。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，当 时，函数 没有极值;当 时，函数 在 处取得极大值，在 处取得极小值 。

点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。

题型5：导数综合题

例9.设函数 分别在 处取得极小值、极大值. 平面上点 的坐标分别为 、 ，该平面上动点 满足 ,点 是点 关于直线 的对称点.求

(I)求点 的坐标;

(II)求动点 的轨迹方程.

解析： (Ⅰ)令 解得 ;

当 时, ， 当 时, ，当 时， 。

所以,函数在 处取得极小值,在 取得极大值,故 , 。

所以, 点A、B的坐标为 。

(Ⅱ) 设 ， ，

，

，所以 。

又PQ的中点在 上，所以 ，消去 得 。

点评：该题是导数与平面向量结合的综合题。

例10.(06湖南卷)已知函数 ,数列{ }满足: 证明:(ⅰ) ;(ⅱ) 。

证明: (I).先用数学归纳法证明 ，n=1,2,3,…

(i).当n=1时,由已知显然结论成立。

(ii).假设当n=k时结论成立,即 。

因为0

又f(x)在[0,1]上连续，从而 .故n=k+1时,结论成立。

由(i)、(ii)可知， 对一切正整数都成立。

又因为 时， ，所以 ，综上所述 。

(II).设函数 ， ，

由(I)知，当 时， ，

从而 所以g (x)在(0,1)上是增函数。

又g (x)在[0,1]上连续,且g (0)=0，所以当 时，g (x)>0成立。

于是 .故 。

点评：该题是数列知识和导数结合到一块。

题型6：导数实际应用题

例11.请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如右图所示)。试问当帐篷的顶点O到底面中心 的距离为多少时，帐篷的体积最大?

本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。

解析：设OO1为x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为 (单位：m)。

于是底面正六边形的面积为(单位：m2)：

。

帐篷的体积为(单位：m3)：

求导数，得 ;

令 解得x=-2(不合题意，舍去),x=2。

当1

所以当x=2时,V(x)最大。

答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大。

点评：结合空间几何体的体积求最值，理解导数的工具作用。

例12.已知函数f(x)=x + x ，数列|x |(x >0)的第一项x =1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在 处的切线与经过(0，0)和(x ,f (x ))两点的直线平行(如图)求证：当n 时，

(Ⅰ)x

(Ⅱ) 。

证明：(I)因为 所以曲线 在 处的切线斜率

因为过 和 两点的直线斜率是 所以 .

(II)因为函数 当 时单调递增，而

，

所以 ，即 因此

又因为 令 则

因为 所以

因此 故

点评：本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理能力。

题型7：定积分

例13.计算下列定积分的值

(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;

解析：(1)

(2)因为 ，所以 ;

(3)

(4)

例14.(1)一物体按规律x=bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方.试求物体由x=0运动到x=a时，阻力所作的功。

(2)抛物线y=ax2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切.此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S.求使S达到最大值的a、b值，并求Smax.

解析：(1)物体的速度 。

媒质阻力 ，其中k为比例常数，k>0。

当x=0时，t=0;当x=a时， ，

又ds=vdt，故阻力所作的功为：

(2)依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，x2=-b/a，所以 (1)

又直线x+y=4与抛物线y=ax2+bx相切，即它们有唯一的公共点，

由方程组

得ax2+(b+1)x-4=0，其判别式必须为0，即(b+1)2+16a=0.

于是 代入(1)式得：

， ;

令S'(b)=0;在b>0时得唯一驻点b=3，且当00;当b>3时，S'(b)<0.故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=-1，b=3时，S取得最大值，且 。

点评：应用好定积分处理平面区域内的面积。

五.思维总结

1.本讲内容在高考中以填空题和解答题为主

主要考查：

(1)函数的极限;

(2)导数在研究函数的性质及在解决实际问题中的应用;

(3)计算曲边图形的面积和旋转体的体积。

2.考生应立足基础知识和基本方法的复习，以课本题目为主，以熟练技能，巩固概念为目标。

【总结】2013年精品学习网为小编在此为您收集了此文章“高三数学复习教案：导数定积分复习学案”，今后还会发布更多更好的文章希望对大家有所帮助，祝您在精品学习网学习愉快!

更多精彩内容请点击：高中 > 高三 > 高三数学 > 高三数学教案