又因为α、β是锐角，所以α<β，故选B.

总结提高

1.两角和与差的三角函数公式以及倍角公式等是三角函数恒等变形的主要工具.

(1)它能够解答三类基本题型：求值题，化简题，证明题;

(2)对公式会“正用”、“逆用”、“变形使用”;

(3)掌握角的演变规律，如“2α=(α+β)+(α-β)”等.

2.通过运用公式，实现对函数式中角的形式、升幂、降幂、和与差、函数名称的转化，以达到求解的目的，在运用公式时，注意公式成立的条件.

5.4　三角恒等变换

典例精析

题型一　三角函数的求值

【例1】已知0<α<π4，0<β<π4，3sin β=sin(2α+β)，4tan α2=1-tan2α2，求α+β的值.

【解析】由4tan α2=1-tan2α2，得tan α= =12.

由3sin β=sin(2α+β)得3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α]，

所以3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α，

即2sin(α+β)cos α=4cos(α+β)sin α，所以tan(α+β)=2 tan α=1.

又因为α、β∈(0，π4)，所以α+β=π4.

【点拨】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换，要善于抓住已知条件与目标之间的结构联系，找到解题的突破口与方向.

【变式训练1】如果tan(α+β)=35，tan(β-π4)=14，那么tan(α+π4)等于(　　)

A.1318 　 B.1322 C.723 D.318

【解析】因为α+π4=(α+β)-(β-π4)，

所以tan(α+π4)=tan[(α+β)-(β-π4)]=tan(α+β)-tan(β-π4)1+tan(α+β)tan(β-π4)=723.

故选C.

题型二　等式的证明

【例2】求证：sin βsin α=sin(2α+β)sin α-2co s(α+β).

【证明】证法一：

右边=sin [(α+β)+α]-2cos(α+β)sin αsin α=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin αsin α

=sin [(α+β)-α]sin α=sin βsin α=左边.

证法二：sin(2α+β)sin α-sin βsin α=sin(2α+β)-sin βsin α=2cos(α+β)sin αsin α=2cos(α+β)，

所以sin(2α+β)sin α-2cos(α+β)=sin βsin α.

【点拨】证法一将2α+β写成(α+β)+α，使右端的角形式上一致，易于共同运算;证法二把握结构特征，用“变更问题法”证明，简捷而新颖.

【变式训练2】已知5sin α=3sin(α-2β)，求证：tan(α-β)+4tan β=0.

【证明】因为5sin α=3sin(α-2β)，所以5sin[(α-β)+β]=3sin[(α-β)-β]，

所以5sin(α-β)cos β+5cos(α-β)sin β=3sin(α-β)cos β-3cos(α-β)sin β，

所以2sin(α-β)cos β+8cos(α-β)sin β=0.

即tan(α-β)+4tan β=0.

题型三　三角恒等变换的应用

【例3】已知△ABC是非直角三角形.

(1)求证：tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C;

(2)若A>B且tan A=-2tan B，求证：tan C=sin 2B3-cos 2B;

(3)在(2)的条件下，求tan C的最大值.

【解析】(1)因为C=π-(A+B)，

所以tan C=-tan(A+B)=-(tan A+tan B)1-tan Atan B，

所以tan C-tan Atan Btan C=-tan A-tan B，

即tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.

(2)由(1)知tan C=-(tan A+tan B)1-tan Atan B=tan B1+2tan2B=sin Bcos Bcos2B+2sin2B=

=sin 2B2(2-1+cos 2B2)=sin 2B3-cos 2B.

(3)由(2)知tan C=tan B1+2tan2B=12tan B+1tan B≤122=24，

当且仅当2tan B=1tan B，即tan B=22时，等号成立.

所以tan C的最大值为24.

【点拨】熟练掌握三角变换公式并灵活地运用来解决与三角形有关的问题，要有较明确的目标意识.

【变式训练3】在△ABC中，tan B+tan C+3tan Btan C=3，3tan A+3tan B+1=tan Atan B，试判断△ABC的形状.

【解析】由已知得tan B+tan C=3(1-tan Btan C)，

3(tan A+tan B)=-(1-tan Atan B)，

即tan B+tan C1-tan Btan C=3，tan A+tan B1-tan Atan B=-33.

所以tan(B+C)=3，tan(A+B)=-33.

因为0

又A+B+C=π，故A=2π3，B=C=π6.

所以△ABC是顶角为2π3的等腰三角形.

总结提高

三角恒等式的证明，一般考虑三个“统一”：①统一角度，即化为同一个角的三角函数;②统一名称，即化为同一种三角函数;③统一结构形式.

5.5　三角函数的图象和性质

典例精析

题型一　三角函数的周期性与奇偶性

【例1】已知函数f(x)=2sin x4cos x4+3cos x2.

(1)求函数f(x)的最小正周期;

(2)令g(x)=f(x+π3)，判断g(x)的奇偶性.

【解析】(1)f(x)=2sin x4cos x4+3cos x2=sin x2+3cos x2=2sin(x2+π3)，

所以f(x)的最小正周期T=2π12=4π.

(2)g(x)=f(x+π3)=2sin[12(x+π3)+π3]=2sin(x2+π2)=2cos x2.

所以g(x)为偶函数.

【点拨】解决三角函数的有关性质问题，常常要化简三角函数.

【变式训练1】函数y=sin2x+sin xcos x的最小正周期T等于(　　)

A.2π B.π C.π2 D.π3

【解析】y=1-cos 2x2+12sin 2x=22(22sin 2x-22cos 2x)+12

=22sin(2x-π4)+12，所以T=2π2=π.故选B.

题型二　求函数的值域

【例2】求下列函数的值域：

(1)f(x)=sin 2xsin x1-cos x;

(2)f(x)=2cos(π3+x)+2cos x.

【解析】(1)f(x)=2sin xcos xsin x1-cos x=2cos x(1-cos2x)1-cos x=2cos2x+2cos x

=2(cos x+12)2-12，

当cos x=1时，f(x)max=4，但cos x≠1，所以f(x)<4，

当cos x=-12时，f(x)min=-12，所以函数的值域为[-12，4).

(2)f(x)=2(cos π3cos x-sin π3sin x)+2cos x

=3cos x-3sin x=23cos(x+π6)，

所以函数的值域为[-23，23].

【点拨】求函数的值域是一个难点，分析函数式的特点，具体问题具体分析，是突破这一难点的关键.

【变式训练2】求y=sin x+cos x+sin xcos x的值域.

【解析】令t=sin x+cos x，则有t2=1+2sin xcos x，即sin xcos x=t2-12.

所以y=f(t)=t+t2-12=12(t+1)2-1.

又t=sin x+cos x=2sin(x+π4)，所以-2≤t≤2.

故y=f(t)=12(t+1)2-1(-2≤t≤2)，

从而f(-1)≤y≤f(2)，即-1≤y≤2+12.

所以函数的值域为[-1，2+12].

题型三　三角函数的单调 性

【例3】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(φ>0，|φ|<π)的部分图象如图所示.

(1)求ω，φ的值;

(2)设g(x)=f(x)f(x-π4)，求函数g(x)的单调递增区间.

【解析】(1)由图可知，T=4(π2-π4)=π，ω=2πT=2.

又由f(π2)=1知，sin(π+φ)=1，又f(0)=-1，所以sin φ=-1.

因为|φ|<π，所以φ=-π2.

(2)f(x)=sin(2x-π2)=-cos 2x.

所以g(x)=(-cos 2x)[-cos(2x-π2)]=cos 2xsin 2x=12sin 4x.

所以当2kπ-π2≤4x≤2kπ+π2，即kπ2-π8≤x≤kπ2+π8(k∈Z)时g(x)单调递增.

故函数g(x)的单调增区间为[kπ2-π8，kπ2+π8](k∈Z).

【点拨】观察图象，获得T的值，然后再确定φ的值，体现了数形结合的思想与方法.

【变式训练3】使函数y=sin(π6-2x)(x∈[0，π])为增函数的区间是(　　)

A.[0，π3] B.[π12，7π12]

C.[π3，5π6] D.[5π6，π]

【解析】利用复合函数单调性“同增异减”的原则判定，选C.

总结提高

1.求三角函数的定义域和值域应注意利用三角函数图象.

2.三角函数的最值都是在给定区间上得到的，因而特别要注意题设中所给的区间.

3.求三角函数的最小正周期时，要尽可能地化为三角函数的一般形式，要注意绝对值、定义域对周期的影响.

4.判断三角函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性.

5.6　函数y=Asin(ωx+ )的图象和性质

典例精析

题型一　“五点法”作函数图象

【例1】设函数f(x)=sin ωx+3cos ωx(ω>0)的周期为π.

(1)求它的振幅、初相;

(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象;

(3)说明函数f(x)的图象可由y=sin x的图象经过怎样的变换得到.

【解析】(1)f(x)=sin ωx+3cos ωx=2(12sin ωx+32cos ωx)=2sin(ωx+π3)，

又因为T=π，所以2πω=π，即ω=2，所以f(x)=2sin(2x+π3)，

所以函数f(x)=sin ωx+3cos ωx(ω>0)的振幅为2，初相为π3.

(2)列出下表，并描点画出图象如图所示.

(3)把y=sin x图象上的所有点向左平移π3个单位，得到y=sin(x+π3)的图象，再把

y=sin(x+π3)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y=sin(2x+π3)的图象，然后把y=sin(2x+π3)的图象上的所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y=2sin(2x+π3)的图象.

【点拨】用“五点法”作图，先将原函数化为y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)形式，再令ωx+φ=0，π2，π，3π2，2π求出相应的x值及相应的y值，就可以得到函数图象上一个周期内的五个点，用平滑的曲线连接五个点，再向两端延伸即可得到函数在整个定义域上的图象.

【变式训练1】函数

的图象如图所示，则(　　)

A.k=12，ω=12，φ=π6

B.k=12，ω=12，φ=π3

C.k=12，ω=2，φ=π6

D.k=-2，ω=12，φ=π3

【解析】本题的函数是一个分段函数，其中一个是一次函数，其图象是一条直线，由图象可判断该直线的斜率k=12.另一个函数是三角函数，三角函数解析式中的参数ω由三角函数的周期决定，由图象可知函数的周期为T=4×(8π3-5π3)=4π，故ω=12.将点(5π3，0)代入解析式y=2sin(12x+φ)，得12×5π3+φ=kπ，k∈Z，所以φ=kπ-5π6，k∈Z.结合各选项可知，选项A正确.

题型二　三角函数的单调性与值域

【例2】已知函数f(x)=sin2ωx+3sin ωxsin(ωx+π2)+2cos2ωx，x∈R(ω>0)在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6.

(1)求ω的值;

(2)若将函数f(x)的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求函数g(x)的最大值及单调递减区间.

【解析】(1)f(x)=32sin 2ωx+12cos 2ωx+32=sin(2ωx+π6)+32.

令2ωx+π6=π2，将x=π6代入可得ω=1.

(2)由(1)得f(x)=sin(2x+π6)+32，经过题设的变化得到函数g(x)=sin(12x-π6)+32，

当x=4kπ+43π，k∈Z时，函数g(x)取得最大值52.

令2kπ+π2≤12x-π6≤2kπ+32π，

即[4kπ+4π3，4kπ+103π](k∈Z)为函数的单调递减区间.

【点拨】本题考查三角函数恒等变换公式的应用、三角函数图象性质及变换.

【变式训练2】若将函数y=2sin(3x+φ)的图象向右平移π4个单位后得到的图象关于点(π3，0)对称，则|φ|的最小值是(　　)

A.π4 B.π3 C.π2 D.3π4

【解析】将函数y=2sin(3x+φ)的图象向右平移π4个单位后得到y=2sin[3(x-π4)+φ]=2sin(3x-3π4+φ)的图象.

因为该函数的图象关于点(π3，0)对称，所以2sin(3×π3-3π4+φ)=2sin(π4+φ)=0，

故有π4+φ=kπ(k∈Z)，解得φ=kπ-π4(k∈Z).

当k=0时，|φ|取得最小值π4，故选A.

题型三　三角函数的综合应用

【例3】已知函数y=f(x)=Asin2(ωx+φ)(A>0，ω>0,0<φ<π2)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1,2).

(1)求φ的值;

(2)求f(1)+f(2)+…+f(2 008).

【解析】(1)y=Asin2(ωx+φ)=A2-A2cos(2ωx+2φ)，

因为y=f(x)的最大值为2，又A>0，

所以A2+A2=2，所以A=2，

又因为其图象相邻两对称轴间的距离为2，ω>0，

所以12×2π2ω=2，所以ω=π4.

所以f(x)=22-22cos(π2x+2φ)=1-cos(π2x+2φ)，

因为y=f(x)过点(1,2)，所以cos(π2+2φ)=-1.

所以π2+2φ=2kπ+π(k∈Z)，

解得φ=kπ+π4(k∈Z)，

又因为0<φ<π2，所以φ=π4.

(2)方法一：因为φ=π4，

所以y=1-cos(π2x+π2)=1+sin π2x，

所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4，

又因为y=f(x)的周期为4,2 008=4×502.