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本文题目：高三数学理科复习教案：几何证明总复习教学案

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1.了解平行线截割定理.

2.会证明并应用直角三角形射影定理.

3.会证明并应用圆周角定理，圆的切线的判定定理及性质定理，并会运用它们进行计算与证明.

4.会证明并应用相交弦定理、圆内接四 边形的性质定理与判定定理、切割线定理，并会运用它们进行几何计算与证明.

5.了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系了解平行投影;会证明平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆).

6.了解下面的定理.

定理：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于点O，其夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l的交角为β(π与l平行，记β=0)，则：

①β>α，平面π与圆锥的交线为椭圆;

②β=α，平面π与圆锥的交线为抛物线;

③β<α，平面π与圆锥的交线为双曲线.

7.会利用丹迪林(Dandelin)双 球(如图所示，这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥面均相切，其切点分别为F，E)证明上述定理①的情形：

当β>α时，平面π与圆锥的交线为椭圆.

(图中，上、下两球与圆锥面相切的切点分别为点B和点C，线段BC与平面π相交于点A)

8.会证明以下结果：

①在7.中，一个丹迪林球与圆 锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行.记这个圆所在的平面为π′.

②如果平面π与平面π′的交线为m，在6.①中椭圆上任取点A，该丹迪林球与平面π的切点为F，则点A到点F的距离与点 A到直线m的距离比是小于1的常数e(称点F为这个椭圆的焦点，直线m为椭圆的准线，常数e为离心率).

9.了解定理6.③中的证明，了解当β无限接近α时，平面π的极限结果. 　　本章重点：相似三角形的判定与性质，与圆有关的若干定理及其运用，并将其运用到立体几何中.

本章难点：对平面截圆柱、圆锥所得的曲线为圆、椭圆、双曲线、抛物线的证明途径与方法，它是解立体几何、平面几何知识的综合运用，应较好地把握.

本专题强调利用演绎推理证明结论，通过推理证明进一步发展学生的逻辑推理能力，进一步提高空间想象能力、几何直观能力和综合运用几何方法解决问题的能力.

第一讲与第二讲是传统内容，高考中主要考查平行线截割定理、直角三角形射影定理以及与圆有关的性质和判定，考查逻辑推理能力.第三讲内容是新增内容，在新课程高考下，要求很低，只作了解.

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16.1　相似三角形的判定及有关性质

典例精析

题型一　相似三角形的判定与性质

【例1】 如图，已知在△ABC中，D是BC边的中点，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.

(1)求证：△ABC∽△FCD;

(2)若S△FCD=5，BC=10，求DE的长.

【解析】(1)因为DE⊥BC，D是BC的中点，所以EB=EC，所以∠B=∠1.

又因为AD=AC，所以∠2=∠ACB.所以△ABC∽△FCD.

(2)过点A作AM⊥BC，垂足为点M.因为△ABC∽△FCD，BC=2CD，所以S△ABCS△FCD=(BCCD)2=4，又因为S△FCD=5，所以S△ABC=20.因为S△ABC=12BC•AM，BC=10，所以20=12×10×AM，所以AM=4.又因为DE∥AM，所以DEAM=BDBM，因为DM=12DC=52，BM=BD+DM，BD=12BC=5，所以DE4=55+52，所以DE=83.

【变式训练1】如右图，在△ABC中，AB=14 cm，ADBD=59，DE∥BC，CD⊥AB，CD=12 cm.求△ADE的面积和周长.

【解析】由AB=14 cm，CD=12 cm，CD⊥AB，得S△ABC=84 cm2.

再由DE∥BC可得△ABC∽△ADE.由S△ADES△ABC=(ADAB)2可求得S△ADE=757 c m2.利用勾股定理求出BC，AC，再由相似三角 形性质可得△ADE的周长为15 cm.

题型二　探求几何结论

【例2】如图，在梯形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，EF∥AD，假设EF做上下平行移动.

(1)若AEEB=12，求证：3EF=BC+2AD;

(2)若AEEB=23，试判断EF与BC，AD之间的关系，并说明理由;

(3)请你探究一般结论，即若AEEB=mn，那么你可以得到什么结论?

【解析】 过点A作AH∥CD分别交EF，BC于点G、H.

(1)因为AEEB=12，所以AEAB=13，

又EG∥BH，所以EGBH=AEAB=13，即3EG=BH，

又EG+GF=EG+AD=EF，从而EF=13(BC-HC)+AD，

所以EF=13BC+23AD，即3EF=BC+2AD.

(2)EF与BC，AD的关系式为5EF=2BC+3AD，理由和(1)类似.

(3)因为AEEB=mn，所以AEAB=mm+n，

又EG∥BH，所以EGBH=AEAB，即EG=mm+nBH.

EF=EG+GF=EG+AD=mm+n(BC-AD)+AD，

所以EF=mm+nBC+nm+nAD，

即(m+n)EF=mBC+nAD.

【点拨】 在相似三角形中，平行辅助线是常作的辅助线之一;探求几何结论可按特殊到一般的思路去获取，但结论证明应从特殊情况得到启迪.

【变式训练2】如右图，正方形ABCD的边长为1，P是CD边上中点，点Q在线段BC上，设BQ=k，是否存在这样的实数k，使得以Q，C，P为顶点的三角形与△ADP相似?若存在，求出k的值;若不存在，请说明理由.

【解析】设存在满足条件的实数k，

则在正方形ABCD中，∠D=∠C=90°，

由Rt△ADP∽Rt△QCP或Rt△ADP∽Rt△PCQ得ADQC=DPCP或ADPC=DPCQ，

由此解得CQ=1或CQ=14.

从而k=0或k=34.