三、计算题

9.(2015·抚顺模拟)如图所示，AB和CDO都是处于竖直平面内的光滑圆弧形轨道，OA处于水平位置.AB是半径为R=2 m的圆周轨道，CDO是半径为r=1 m的半圆轨道，最高点O处固定一个竖直弹性挡板.D为CDO轨道的中点.BC段是水平粗糙轨道，与圆弧形轨道平滑连接.已知BC段水平轨道长L=2 m，与小球之间的动摩擦因数μ=0.4.现让一个质量为m=1 kg的小球P从A点的正上方距水平线OA高H处自由落下(g取10 m/s2).

(1)当H=1.4 m时，求此球第一次到达D点对轨道的压力大小;

(2)当H=1.4 m时，试通过计算判断此球是否会脱离CDO轨道.如果会脱离轨道，求脱离前球在水平轨道经过的路程;如果不会脱离轨道，求静止前球在水平轨道经过的路程.

解析：(1)设小球第一次到达D的速度vD，P到D点的过程对小球列动能定理：

mg(H+r)-μmgL=

在D点对小球列牛顿第二定律：FN=

联立解得：FN=32 N

由牛顿第三定律得小球在D点对轨道的压力大小

F′N=FN=32 N.

(2)第一次来到O点时速度为v1，P到O点的过程对小球列动能定理：

mgH-μmgL=

解得：v1=2 m/s

恰能通过O点，mg=

临界速度vO= m/s

由于v1>vO，故第一次来到O点之前没有脱离.

设第三次来到D点的动能Ek对之前的过程列动能定理：

mg(H+r)-3μmgL=Ek

代入解得：Ek=0

故小球一直没有脱离CDO轨道

设此球静止前在水平轨道经过的路程s，对全过程列动能定理：

mg(H+R)-μmgs=0

解得：s=8.5 m.

答案：(1)32 N　(2)8.5 m

10.有一倾角为θ=37°的硬杆，其上套一底端固定且劲度系数为k=120 N/m的轻弹簧，弹簧与杆间无摩擦.一个质量为m=1 kg的小球套在此硬杆上，从P点由静止开始滑下，已知小球与硬杆间的动摩擦因数为μ=0.5，P与弹簧自由端Q间的距离为l=1 m.弹簧的弹性势能与其形变量x的关系为Ep=kx2(sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，g取10 m/s2).求：

(1)小球从开始下滑到与弹簧自由端相碰所经历的时间t;

(2)小球运动过程中达到的最大速度vm;

(3)若使小球在P点以初速度v0下滑后又恰好回到P点，则v0需多大?

解析：(1)由牛顿第二定律得：

F合=mgsin θ-μmgcos θ=ma，

解得a=2 m/s2

由l=at2，解得

t==1 s.

(2)当小球从P点无初速滑下时，弹簧被压缩至x处有最大速度vm，由

mgsin θ-μmgcos θ=kx

得x= m=0.017 m

由功能关系得：

mgsin θ(l+x)-μmgcos θ(l+x)-W弹=mv

又W弹=kx2

代入数据解得vm=2 m/s.

(3)设小球从P点压缩弹簧至最低点，弹簧的压缩量为x1，由动能定理得

mgsin θ(l+x1)-μmgcos θ(l+x1)-kx=0-mv

从最低点经过弹簧原长Q点回到P点的速度为0，则有：

kx-mgsin θ(l+x1)-μmgcos θ(l+x1)=0

解得：x1=0.5 m，v0=4.9 m/s.

答案：(1)1 s　(2)2 m/s　(3)4.9 m/s

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