2014高考数学知识点总结之空间向量与立体几何

一、考点概要：

1、空间向量及其运算

(1)空间向量的基本知识：

①定义：空间向量的定义和平面向量一样，那些具有大小和方向的量叫做向量，并且仍用有向线段表示空间向量，且方向相同、长度相等的有向线段表示相同向量或相等的向量。

②空间向量基本定理：

ⅰ定理：如果三个向量 不共面，那么对于空间任一向量 ，存在唯一的有序实数组x、y、z，使 。且把 叫做空间的一个基底， 都叫基向量。

ⅱ正交基底：如果空间一个基底的三个基向量是两两相互垂直，那么这个基底叫正交基底。

ⅲ 单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称为单位正交基底，通常用 表示。

ⅳ 空间四点共面：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组x、y、z，使 。

③共线向量(平行向量)：

ⅰ定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作 。

ⅱ规定：零向量与任意向量共线;

ⅲ共线向量定理：对空间任意两个向量 平行的充要条件是：存在实数λ，使 。

④共面向量：

ⅰ定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量;空间的任意两个向量都是共面向量。

ⅱ向量与平面平行：如果直线OA平行于平面或 在α内，则说向量 平行于平面α，记作 。平行于同一平面的向量，也是共面向量。

ⅲ共面向量定理：如果两个向量 、 不共线，则向量 与向量 、 共面的充要条件是：存在实数对x、y，使 。

ⅳ空间的三个向量共面的条件：当 、 、 都是非零向量时，共面向量定理实际上也是 、 、 所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内。

ⅴ共面向量定理的推论：空间一点P在平面MAB内的充要条件是：存在有序实数对x、y，使得 ，或对于空间任意一定点O，有 。

⑤空间两向量的夹角：已知两个非零向量 、 ，在空间任取一点O，作 ， (两个向量的起点一定要相同)，则叫做向量 与 的夹角，记作 ，且 。

⑥两个向量的数量积：

ⅰ定义：已知空间两个非零向量 、 ，则 叫做向量 、 的数量积，记作 ，即： 。

ⅱ规定：零向量与任一向量的数量积为0。

ⅲ注意：两个向量的数量积也叫向量 、 的点积(或内积)，它的结果是一个实数，它等于两向量的模与其夹角的余弦值。

ⅳ数量积的几何意义： 叫做向量 在 方向上的投影(其中θ为向量 和 的夹角)。

即：数量积 等于向量 的模与向量 在 方向上的投影的乘积。

ⅴ基本性质：

ⅵ运算律：

(2)空间向量的线性运算：

①定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下：