(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac

二项式

艾萨克·牛顿发现了二项式。二项式是乘方里的复杂运算。右图为二项式计算法则。一般来说，二项式也可以这样表示：

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

…… …… ……

这就是著名的杨辉三角。

速算

有些较特殊的数的平方，掌握规律后，可以使计算速度加快，现介绍如下。

由n个1组成的数的平方

我们观察下面的例子。

1^2=1

11^2=121

111^2=12321

1111^2=1234321

11111^2=123454321

111111^2=12345654321

……

由以上例子可以看出这样一个规律;求由n个1组成的数的平方，先由1写到n，再由n写到1，即：

11…1(n个1)^2=1234…(n-1)n(n-1)…4321

注意：其中n只占一个数位，满10应向前进位，当然，这样的速算不宜位数过多。

由n个3组成的数的平方

我们仍观察具体实例：

3^2=9

33^2=1089

333^2=110889

3333^2=11108889

33333^2=1111088889

由此可知：

33…3(n个3)^2 = 11…11【(n-1)个1】0 88…88【(n-1)个8】9

个位是5的数的平方

把a看作10的个数，这样个位数字是5的数的平方可以写成;(10a+5)^2的形式。根据完全平方式推导;

(10a+5)^2=(10a)^2+2×10a×5+5^2

=100a^2+100a+25

=100a×(a+1)+25

=a×(a+1)×100+25

由此可知：个位数字是5的数的平方，等于去掉个位数字后，所得的数与比这个数大1的数相乘的积，后面再写上25。

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