专题： 计算题.

分析： 连结OM，OM的反向延长线交EF与C，由直线MN与⊙O相切于点M，根据切线的性质得OM⊥MF，而EF∥MN，根据平行线的性质得到MC⊥EF，于是根据垂径定理有CE=CF，再利用等腰三角形的判定得到ME=MF，易证得△MEF为等边三角形，所以∠E=60°，然后根据特殊角的三角函数值求解.

解答： 解：连结OM，OM的反向延长线交EF与C，如图，

∵直线MN与⊙O相切于点M，

∴OM⊥MF，

∵EF∥MN，

∴MC⊥EF，

∴CE=CF，

∴ME=MF，

而ME=EF，

∴ME=EF=MF，

∴△MEF为等边三角形，

∴∠E=60°，

∴cos∠E=cos60°= .

故答案为 .

点评： 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质和特殊角的三角函数值.

3.(2014•温州，第14题5分)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanA的值是 　.

考点： 锐角三角函数的定义.

分析： 根据锐角三角函数的定义(tanA= )求出即可.

解答： 解：tanA= = ，

故答案为： .

点评： 本题考查了锐角三角函数定义的应用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，sinA= ，cosA= ，tanA= .

4. (2014•株洲，第13题，3分)孔明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°(不考虑身高因素)，则此塔高约为　182　米(结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475).

(第1题图)

考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

分析： 作出图形，可得AB=500米，∠A=20°，在Rt△ABC中，利用三角函数即可求得BC的长度.

解答： 解：在Rt△ABC中，

AB=500米，∠BAC=20°，

∵ =tan20°，

∴BC=ACtan20°=500×0.3640=182(米).

故答案为：182.

点评： 本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解.

三.解答题

1. (2014•湘潭，第25题) △ABC为等边三角形，边长为a，DF⊥AB，EF⊥AC，

(1)求证：△BDF∽△CEF;

(2)若a=4，设BF=m，四边形ADFE面积为S，求出S与m之间的函数关系，并探究当m为何值时S取最大值;

(3)已知A、D、F、E四点共圆，已知tan∠EDF= ，求此圆直径.

(第1题图)

考点： 相似形综合题;二次函数的最值;等边三角形的性质;圆周角定理;解直角三角形

分析： (1)只需找到两组对应角相等即可.

(2)四边形ADFE面积S可以看成△ADF与△AEF的面积之和，借助三角函数用m表示出AD、DF、AE、EF的长，进而可以用含m的代数式表示S，然后通过配方，转化为二次函数的最值问题，就可以解决问题.

(3)易知AF就是圆的直径，利用圆周角定理将∠EDF转化为∠EAF.在△AFC中，知道tan∠EAF、∠C、AC，通过解直角三角形就可求出AF长.

解答： 解：(1)∵DF⊥AB，EF⊥AC，

∴∠BDF=∠CEF=90°.

∵△ABC为等边三角形，

∴∠B=∠C=60°.

∵∠BDF=∠CEF，∠B=∠C，

∴△BDF∽△CEF.

(2)∵∠BDF=90°，∠B=60°，

∴sin60°= = ，cos60°= =.

∵BF=m，

∴DF= m，BD=.

∵AB=4，

∴AD=4﹣.

∴S△ADF=AD•DF=×(4﹣)× m=﹣ m2+ m.

同理：S△AEF=AE•EF

=×(4﹣ )× (4﹣m)

=﹣ m2+2 .

∴S=S△ADF+S△AEF=﹣ m2+ m+2 =﹣ (m2﹣4m﹣8)

=﹣ (m﹣2)2+3 .其中0

∵﹣ <0，0<2<4，

∴当m=2时，S取最大值，最大值为3 .

∴S与m之间的函数关系为：

S═﹣ (m﹣2)2+3 (其中0

当m=2时，S取到最大值，最大值为3 .

(3)如图2，

∵A、D、F、E四点共圆，

∴∠EDF=∠EAF.

∵∠ADF=∠AEF=90°，

∴AF是此圆的直径.

∵tan∠EDF= ，

∴tan∠EAF= .

∴ = .

∵∠C=60°，

∴ =tan60°= .

设EC=x，则EF= x，EA=2x.

∵AC=a，

∴2x+x=A.

∴x=.

∴EF= ，AE= .

∵∠AEF=90°，

∴AF= = .

∴此圆直径长为 .

点评： 本题考查了相似三角形的判定、二次函数的最值、三角函数、解直角三角形、圆周角定理、等边三角形的性质等知识，综合性强.利用圆周角定理将条件中的圆周角转化到合适的位置是解决最后一小题的关键.

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