∴四边形ABCD是菱形.                          …………………‥12分

24、解：(1)∵ ，∠A=∠A.

∴ △AMN ∽ △ABC.                        ‥‥‥4分

(2)在Rt△ABC中，BC = =10.

由(1)知 △AMN ∽ △ABC.

∴

∴  ，

∴⊙O的半径r=

可求得圆心O到直线BC的距离d=

∵⊙O与直线BC相切

∴ = . 解得 =

当 = 时，⊙O与直线BC相切                     ‥‥‥8分

(3)当P点落在直线BC上时，则点M为AB的中点.   ‥‥‥9分

故以下分两种情况讨论：

①当0< ≤1时， .

∴ 当 =1时，                   …………‥11分

② 当1< <2时， 设MP交BC于E，NP交BC于F

MB=8-4 ，MP=MA=4

∴PE=4 -(8-4 )=8 -8

‥‥‥13分

∴ 当 时， .

综上所述，当 时， 值最大，最大值是8             ‥‥‥14分

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