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数学暑假作业操作探究试题

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2013-12-16

设∠BAC= (0°< <90°).现把小棒依次摆放在两射线AB,AC之间,并使小棒两端分别落在两射线上.

活动一:如图甲所示,从点A1开始,依次向右摆放小棒,使小棒与小棒在两端点处互相垂直,A1A2为第1根小棒.

数学思考:

(1)小棒能无限摆下去吗?答:          .(填“能”或“不能”)

(2)设AA1=A1A2=A2A3=1.

① =     度;

②若记小棒A2n-1A2n的长度为an(n为正整数,如A1A2=a1,A3A4=a2,),求此时a2,a3的值,并直接写出an(用含n的式子表示).

活动二:

如图乙所示,从点A1开始,用等长的小棒依次向右摆放,其中A1A2为第1根小棒,且A1A2= AA1.

数学思考:

(3)若已经向右摆放了3根小棒,则 =        , =         , =         ;(用含 的式子表示)

(4)若只能摆放4根小棒,求 的范围.

【解题思路】活动一:(1)可以发现A1A2∥A3A4∥A5A6......,角度不变,所以小棒能无限摆下去;(2)AA1=A1A2=A2A3=1,可知△A1A2A3是等腰直角形、△AA1A2是等腰三解形,所以∠A2A1A3=45°=2∠A,即 =22.5°,A3A4= AA3= AA1+ A1A2,同理照此规律可以求出的A2n-1A2n长度,当然也可以利用三角形相似去解.活动二:(3)由等腰三角形和三角形外角的性质,很容易求出 、 、 ;(4)由(3)的规律(4)摆放4根小棒后 =5 , 是等腰三角形△A5A4A6的一个底角,所以5 ≤90°,由题意只能摆4根小棒,所以又得6 >90°,解得15°< ≤18°.

【答案】解:(1)能

(2)①22.5°

②方法一:

∵AA1=A1A2=A2A3=1, A1A2⊥A2A3,∴A1A3= ,AA3=1+ .

又∵A2A3⊥A3A4,∴A1A2∥A3A4.同理:A3A4∥A5A6,∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5,

∴AA3=A3A4,AA5=A5A6,∴a2= A3A4=AA3=1+ ,a3=AA3+A3A5=a2+A3A5.∵A3A 5= a2,

∴a3=A5A6=AA5=a2+ a2=( +1)2.

方法二:

∵AA1=A1A2=A2A3=1, A1A2⊥A2A3,∴A1A3= ,AA3=1+ .

又∵A2A3⊥A3A4,∴A1A2∥A3A4.同理:A3A4∥A5A6,∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5,

∴a2=A3A4=AA3=1+ ,又∵∠A2A3A4=∠A4A5A6=90°,∠A2A4A3=∠A4A6A5,∴△A2A3A4∽△A4A5A6,

∴ ,∴ a3= =( +1)2.

an=( +1)n-1.

(3)

(4)由题意得 ,∴15°< ≤18°.

【点评】本题是一道以摆小棒活动的课题学习,通过学生的动手操作,探究,掌握数学的思维过程、以及数学中的有关内在规律,本题在活动中考查了等腰三角形、勾股定理、外角、相似等知识,阅读量相对较大,字母较多,书写有一定的困难,要求学生有较强的知识迁移能力,分析问题、转化问题的能力,难度较大.

情境观察

将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开,得到△ABC和△ A′C′D,如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合,并绕点A按逆时针方向旋转,使点D、A(A′)、B在同一条直线上,如图2所示.

观察图2可知:与BC相等的线段是   ▲   ,∠CAC′=   ▲   °.

问题探究

如图3,△ABC中,AG⊥BC于点G,以A为直角顶点,分别以AB、AC为直角边,向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF,过点E、F作射线GA的垂线,垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系,并证明你的结论.

拓展延伸

如图4,△ABC中,AG⊥BC于点G,分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF,射线GA交E F于点H. 若AB= k AE,AC= k AF,试探究HE与HF之间的数量关系,并说明理由.

【解题思路】第(1)题易知△ABC≌△A′C′D,所以BC=A′D,∠CAC′=180°-∠DAC′-∠BAC=90°;第(2)题可以利用(1)题思路证Rt△ABG≌Rt△EAP和Rt△ACG≌Rt△FAQ,可得EP、AQ都等于AG;第(3)题将全等迁移到相似,根据第(2)题图形暗示构造辅助线,过点E作EP⊥GA,FQ⊥GA,垂足分别为P、Q.证Rt△ABG∽Rt△EAP和Rt△ACG∽Rt△FAQ,得到EP=FQ,再证Rt△EPH≌Rt△FQH即可.

【答案】解:情境观察 AD(或A′D),90

问题探究

结论:EP=FQ.

证明:∵△ABE是等腰三角形,∴AB=AE,∠BAE=90°.

∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC,∴∠BAG+∠ABG=90°,∴∠ABG=∠EAP.

∵EP⊥AG,∴∠AGB=∠EPA=90°,∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP.

同理AG=FQ.  ∴EP=FQ.

拓展延伸

结论: HE=HF.

理由:过点E作EP⊥GA,FQ⊥GA,垂足分别为P、Q.

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