∴△OQB∽△OBP.

∴ .

∵OA=OB，

∴ .

又∵∠AOQ=∠POA，

∴△OAQ∽△OPA.

∴∠OAQ=∠APO.

∵∠OQB=∠ACB=90°，

∴AC∥OP.

∴∠CAP=∠APO.

∴∠CAP=∠OAQ.

∴∠CAQ=∠BAP.

∵∠ACQ=∠ABP=90°，

∴△ACQ∽△ABP.

∴ .

故A正确.

(2)如图1，

∵△OBP∽△OQB，

∴ .

∴ .

∵AQ≠OP，

∴ .

故C不正确.

(3)连接OR，如图2所示.

∵OQ⊥BC，

∴BQ=CQ.

∵AO=BO，

∴OQ= AC.

∵OR= AB.

∴ = ， =2.

∴ ≠ .

∴ .

故B不正确.

(4)如图2，

∵ ，

且AC=2OQ，AB=2OB，OB=OR，

∴ .

∵AB≠AP，

∴ .

故D不正确.

故选：A.

【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、垂径定理、三角形的中位线等知识，综合性较强，有一定的难度.