19.(2013•衡阳)如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F，已知AD=4.

(1)试说明AE2+CF2的值是一个常数;

(2)过点P作PM∥FC交CD于点M，点P在何位置时线段DM最长，并求出此时DM的值.

19.解：(1)由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，

又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC，

∴∠ABE=∠BCF，

∵在△ABE和△BCF中，

，

∴△ABE≌△BCF(AAS)，

∴AE=BF，

∴AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16为常数;

(2)设AP=x，则PD=4-x，

由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，

∴△PDM∽△BAP，

∴ ，

即 ，

∴DM= ，

当x=2时，DM有最大值为1.

20.(2013•宁夏)在▱ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连结CE，CP.已知∠A=60°;

(1)若BC=8，AB=6，当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的最大值.

(2)试探究当△CPE≌△CPB时，▱ABCD的两边AB与BC应满足什么关系?

20.解：(1)如图，延长PE交CD的延长线于F，

设AP=x，△CPE的面积为y，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB=DC=6，AD=BC=8，

∵Rt△APE，∠A= 60°，

∴∠PEA=30°，

∴AE=2x，PE= x，

在Rt△DEF中，∠DEF=∠PEA=30°，DE=AD-AE=8-2x，

∴DF= DE=4-x，

∵AB∥CD，PF⊥AB，

∴PF⊥CD，

∴S△CPE= PE•CF，

即y= × x×(10-x)=- x2+5 x，

配方得：y=- (x-5)2+ ，

当x=5时，y有最大值 ，

即AP的长为5时，△CPE的面积最大，最大面积是 ;

(2)当△CPE≌△CPB 时，有BC=CE，∠B=∠PEC=120°，

∴∠CED=180°-∠AEP-∠PEC=30°，

∵∠ADC=120°，

∴∠ECD=∠CED=180°-120°-30°=30°，

∴DE=CD，即△EDC是等腰三角形，

过D作DM⊥CE于M，则CM= CE，

在Rt△CMD中，∠ECD=30°，

∴cos30°= ，

∴CM= CD，

∴CE= CD，

∵BC=CE，AB=CD，

∴BC= AB，

则当△CPE≌△CPB时，BC与AB满足的关系为BC= AB.