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2016中考数学考前必做专题试题:图表信息题

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2016-01-06

8.(2014•甘肃兰州,第27题10分)给出定义,若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称该四边形为勾股四边形.

(1)在你学过的特殊四边形中,写出两种勾股四边形的名称;

(2)如图,将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE,连接AD,DC,CE,已知∠DCB=30°.

①求证:△BCE是等边三角形;

②求证:DC2+BC2=AC2,即四边形ABCD是勾股四边形.

考点: 四边形综合题.

分析: (1)根据定义和特殊四边形的性质,则有矩形或正方形或直角梯形;

(2)①首先证明△ABC≌△BDC,得出AC=DE,BC=BE,连接CE,进一步得出△BCE为等边三角形;

②利用等边三角形的性质,进一步得出△DCE是直角三角形,问题得解.

解答: 解:(1)正方形、矩形、直角梯形均可;

证明:(2)①∵△ABC≌△DBE,

∴BC=BE,

∵∠CBE=60°,

∴△BCE是等边三角形;

②∵△ABC≌△DBE,

∴BE=BC,AC=ED;

∴△BCE为等边三角形,

∴BC=CE,∠BCE=60°,

∵∠DCB=30°,

∴∠DCE=90°,

在Rt△DCE中,

DC2+CE2=DE2,

∴DC2+BC2=AC2.

点评: 此题主要考查勾股定理,三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,是一道综合性很强的题目.

9. (2014•扬州,第26题,10分)对x,y定义一种新运算T,规定:T(x,y)= (其中a、b均为非零常数),这里等式右边是通常的四则运算,例如:T(0,1)= =B.

(1)已知T(1,﹣1)=﹣2,T(4,2)=1.

①求a,b的值;

②若关于m的不等式组 恰好有3个整数解,求实数p的取值范围;

(2)若T(x,y)=T(y,x)对任意实数x,y都成立(这里T(x,y)和T(y,x)均有意义),则a,b应满足怎样的关系式?

考点: 分式的混合运算;解二元一次方程组;一元一次不等式组的整数解

分析: (1)①已知两对值代入T中计算求出a与b的值;

②根据题中新定义化简已知不等式,根据不等式组恰好有3个整数解,求出p的范围即可;

(2)由T(x,y)=T(y,x)列出关系式,整理后即可确定出a与b的关系式.

解答: 解:(1)①根据题意得:T(1,﹣1)= =﹣2,即a﹣b=﹣2;

T=(4,2)= =1,即2a+b=5,

解得:a=1,b=3;

②根据题意得: ,

由①得:m≥﹣ ;

由②得:m< ,

∴不等式组的解集为﹣ ≤m< ,

∵不等式组恰好有3个整数解,即m=0,1,2,

∴2≤ <3,

解得:﹣2≤p<﹣ ;

(2)由T(x,y)=T(y,x),得到 = ,

整理得:(x2﹣y2)(2b﹣a)=0,

∵T(x,y)=T(y,x)对任意实数x,y都成立,

∴2b﹣a=0,即a=2B.

点评: 此题考查了分式的混合运算,解二元一次方程组,以及一元一次不等式组的整数解,弄清题中的新定义是解本题的关键.

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