【编者按】为了丰富同学们的学习生活，精品学习网中考频道为同学们搜集整理了中考数学模拟题：北京2012年中考数学二模试题分类汇编：几何综合，供大家参考，希望对大家有所帮助!

北京2012年中考数学二模试题分类汇编：几何综合

与中点有关的问题

1.(昌平24) 如图，D是△ABC中AB边的中点，△BCE和△ACF都是等边三角形，M、N分别是CE、CF的中点.

(1)求证：△DMN是等边三角形;

(2)连接EF，Q是EF中点，CP⊥EF于点P.

求证：DP=DQ.

同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下面

两位同学的解题思路作为参考：

小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造

三角形的中位线，添加出了一些辅助线;小慧同学想到要

证明线段相等，可通过证明三角形全等，如何构造出相应的三角形呢?她考虑将△NCM绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置.

24. 证明：(1)取AC的中点G，连接NG、DG.

∴DG= BC，DG∥BC;△NGC是等边三角形.

∴NG = NC，DG = CM. …………………2分

∵∠1 + ∠2 = 180º，

∴∠NGD + ∠2 = 240º.

∵∠2 + ∠3 = 240º，

∴∠NGD =∠3.

∴△NGD≌△NCM . ……………………3分

∴ND = NM ，∠GND =∠CNM.

∴∠DNM =∠GNC = 60º.

∴△DMN是等边三角形.………………………………4分

(2)连接QN、PM.

∴QN = CE= PM. ……………………5分

Rt△CPE中，PM =EM，∴∠4= ∠5.

∵MN∥EF，∴∠5= ∠6，∠7= ∠8.

∵NQ∥CE，∴∠7= ∠4.

∴∠6= ∠8.

∴∠QND= ∠PMD. ………………………6分

∴△QND≌△PMD.

∴DQ= DP. ……………………7分

2.(丰台24)在△ABC中，D为BC边的中点，在三角形内部取一点P，使得∠ABP=∠ACP.过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F.

(1)如图1，当AB=AC时，判断的DE与DF的数量关系，直接写出你的结论;

(2)如图2，当AB AC，其它条件不变时，(1)中的结论是否发生改变?请说明理由.

图1 图2

24.解：(1)DE=DF.……1分

(2)DE=DF不发生改变.……2分

理由如下：分别取BP、CP的中点M、N，联结EM、DM、FN、DN.

∵D为BC的中点，∴ .……3分

∵ ∴ .

∴ .∴ .…4分

同理 .∴四边形MDNP为平行四边形.……5分

∴ ∵ ∴ . ∴ .……6分

∴△EMD≌△DNF. ∴DE=DF.……7分

3.(海淀25.)在矩形ABCD中, 点F在AD延长线上，且DF= DC, M为AB边上一点, N为MD的中点, 点E在直线CF上(点E、C不重合).

(1)如图1, 若AB=BC, 点M、A重合, E为CF的中点，试探究BN与NE的位置关系及 的值, 并证明你的结论;

(2)如图2，且若AB=BC, 点M、A不重合, BN=NE，你在(1)中得到的两个结论是否成立, 若成立,加以证明; 若不成立, 请说明理由;

(3)如图3，若点M、A不重合，BN=NE，你在(1)中得到的结论两个是否成立, 请直接写出你的结论.

图1 图2 图3

25. 解：(1)BN与NE的位置关系是BN⊥NE; = .

证明：如图，过点E作EG⊥AF于G, 则∠EGN=90°.

∵ 矩形ABCD中, AB=BC，

∴ 矩形ABCD为正方形.

∴ AB =AD =CD, ∠A=∠ADC =∠DCB =90°.

∴ EG//CD, ∠EGN =∠A, ∠CDF =90°.……………1分

∵ E为CF的中点，EG//CD,

∴ GF=DG =

∴

∵ N为MD(AD)的中点，

∴ AN=ND=

∴ GE=AN, NG=ND+DG=ND+AN=AD=AB. ………2分

∴ △NGE≌△BAN.

∴ ∠1=∠2.

∵ ∠2+∠3=90°，

∴ ∠1+∠3=90°.

∴ ∠BNE =90°.

∴ BN⊥NE. ……………………………3分

∵ ∠CDF =90°, CD=DF,

可得 ∠F =∠FCD =45°， .

于是 …………4分

(2)在(1)中得到的两个结论均成立.

证明：如图，延长BN交CD的延长线于点G，连结BE、GE，过E作EH⊥CE，

交CD于点H.

∵ 四边形ABCD是矩形，

∴ AB∥CG.

∴ ∠MBN=∠DGN，∠BMN=∠GDN.

∵ N为MD的中点，

∴ MN=DN.

∴ △BMN≌△GDN.

∴ MB=DG，BN=GN.

∵ BN=NE，

∴ BN=NE=GN.

∴ ∠BEG=90°. ……………5分

∵ EH⊥CE，

∴ ∠CEH =90°.

∴ ∠BEG=∠CEH.

∴ ∠BEC=∠GEH.

由(1)得∠DCF =45°.

∴ ∠CHE=∠HCE =45°.

∴ EC=EH, ∠EHG =135°.

∵∠ECB =∠DCB +∠HCE =135°，

∴ ∠ECB =∠EHG.

∴ △ECB≌△EHG.

∴ EB=EG，CB=HG.

∵ BN=NG，

∴ BN⊥NE. ……………………6分

∵ BM =DG= HG-HD= BC-HD =CD-HD =CH= CE，

∴ = . ……………………7分

(3)BN⊥NE; 不一定等于 . ……………………8分

密云25.已知菱形ABCD的边长为1， ，等边△AEF两边分别交DC、CB于点E、F.

(1)特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：菱形ABCD对角线AC、BD的交点O即为等边△AEF的外心;

(2)若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边△AEF的外心为P.

①猜想验证：如图2，猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明;

②拓展运用：如图3，当E、F分别是边DC、CB的中点时，过点P任作一直线，分别交DA边于点M，BC边于点G，DC边的延长线于点N，请你直接写出 的值.

25.(本小题满分8分)

证明：(1)如图1：分别连结OE、OF.

∵四边形ABCD是菱形，

， ， ，

且 .

在Rt△AOD中，有 .

又 E、F分别是边DC、CB的中点， .

.

点O即为等边△AEF的外心. ------------------------- 3分

(2)①猜想：△AEF的外心P落在对角线DB所在的直线上.

证明：如图2：分别连结PE、PA，作 于Q， 于H.

则

∵ ， 在四边形QDHP中， .

又 ∵点P是等边△AEF的外心， ，

， . .

△PQE≌△PHA(AAS). PQ=PH.

点P在 的角平分线上.

∵菱形ABCD的对角线DB平分 ， 点P落在对角线DB所在直线上--- 6分 ② . ---------------------- 8分

旋转变换在几何证明应用

延庆24. (1)如图1：在△ABC中，AB=AC，当∠ABD=∠ACD=60°时，猜想AB与BD+CD数量关系，请直接写出结果 ;

(2)如图2：在△ABC中，AB=AC，当∠ABD=∠ACD=45°时，猜想AB与BD+CD数量关系并证明你的结论;

(3)如图3：在△ABC中，AB=AC，当∠ABD=∠ACD= (20°≤ ≤70°)时，直接写出AB与BD+CD数量关系(用含 的式子表示)。

24. (1)AB=BD+CD…………………………………………1分

(2)猜想： ……………………2分

证明：如图，过A点作AE⊥AC交CD延长线于E点，

作AF⊥AB交BD延长线于F点，连接EF。…………3分

容易证出：△ABC≌△AEF………………4分

∴∠ABC=∠AEF,BC=EF

容易证出：△DBC≌△DEF………………5分

∴CD=DF

在等腰Rt△ABF中，结论可以得出。

(3) (或变形)……………………7分

通州23.(1)已知：如图1， 是⊙ 的内接正三角形，点 为弧BC上一动点，求证：

(2)如图2，四边形 是⊙ 的内接正方形，点 为弧BC上一动点，

求证：

(3)如图3，六边形 是⊙ 的内接正六边形，点 为弧BC上一动点，请你写出PA，PB，PC三者之间的数量关系表达式.(不需要证明)

23.在AP上截取PM=BP,连结BM …………………………………….(1分)

∵ 是⊙ 的内接正三角形，

∴ ,AB=BC

∴

∵PM=BP,

∴ 是正三角形

∴

∵ …………………………………….(2分)

≌

∴AM=PC

∴AP = PB+PC …………………………………….( 3分)

(2)

∵过点B做 ,交PA于点N…………….(4分)

∵四边形 是⊙ 的内接正方形，

∴AB=BC, ,

∴ ,PB=BN

根据勾股定理得： …………………………………….(5分)

∵

∴

∴ ≌

∴

∴ ……….(6分)

(3)结论：

………….(7分)

平谷24.如图1，若四边形ABCD、GFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE.

(1)当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时，AG=CE是否成立?若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由;

(2)当正方形GFED绕D旋转到B，D，G在一条直线 (如图3)上时，连结CE，设CE分别交AG、AD于P、H .

① 求证：AG⊥CE;

② 如果AD=4，DG= ，求CE的长.

24.证明：(1) 成立.

∵ 四边形 、四边形 是正方形，

∴ …………………………1分

∠ ∠ .

∴ ∠ 90°-∠ ∠ .

∴ △ ≌△ .………....................………2分

∴ .………………………………………3分

(2)①由(1)可知△ ≌△ ，

∴ ∠1=∠2 .

∵ ∠3=∠4，∠4+∠2=90°，

∴ ∠3+∠1=90°

∴ ∠ = .

……………………………………5分

② 过 作 于M .

∵ BD是正方形 的对角线，

∴ .

∴ ∠DGM=45°.

∵ DG= ，

∴ . .................6分

在Rt△AMG中 ，由勾股定理，得

∴ CE=AG= ………………7分

3.(东城24) 已知：等边 中，点O是边AC,BC的垂直平分线的交点，M,N分别在直线AC, BC上，且 .

(1) 如图1，当CM=CN时， M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN 、MN三者之间的数量关系;

(2) 如图2，当CM≠CN时，M、N分别在边AC、BC上时，(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请你加以证明;若不成立，请说明理由;

(3) 如图3，当点M在边AC上，点N在BC 的延长线上时，请直接写出线段AM、CN 、MN三者之间的数量关系.

24. 解： (1) ……2分

(2) ……3分

证明：过点O 作 易得

在边AC上截得DN’=NE,连结ON’,

∵ DN’=NE,

OD=OE,

∠ODN’=∠OEN

……4分

∴ON’=OE. ∠DON’=∠NOE.

∴∠MOD+∠NOE=600.

∴∠MOD+∠DON’=600.

易证 .……5分

∴MN’=MN.

(3) ……7分

纯添辅助线(特殊情况可用旋转变换)

1.(石景山)在△ 中， , 是底边 上一点， 是线段 上一点,且∠ .

(1) 如图1,若∠ ,猜想 与 的数量关系为 ;

(2) 如图2,若∠ ，猜想 与 的数量关系，并证明你的结论;

(3)若∠ ，请直接写出 与 的数量关系.

解：

24.解：(1)

(2)

证明：过点 作 ∥ 交 的延长线于点 ,

在 上取点 使得

∴

∴△ ≌△

∴

∵

∴

∴

由△ ∽△ 得

∴

(3) 结论： .

2.(顺义24)已知：如图，D为线段AB上一点(不与点A、B重合)，CD⊥AB，且CD=AB，AE⊥AB，BF⊥AB，且AE=BD，BF=AD.

(1)如图1，当点D恰是AB的中点时，请你猜想并证明∠ACE与∠BCF的数量关系;

(2)如图2，当点D不是AB的中点时，你在(1)中所得的结论是否发生变化，写出你的猜想并证明;

(3)若∠ACB= ，直接写出∠ECF的度数(用含 的式子表示).

图1 图2

24.解：(1)猜想：∠ACE=∠BCF.

证明：∵D是AB中点，

∴AD=BD，

又∵AE=BD，BF=AD，

∴AE=BF.

∵CD⊥AB，AD=BD，

∴CA=CB.

∴∠1 =∠2.

∵AE⊥AB，BF⊥AB，

∴∠3 =∠4=90°.

∴∠1+∠3 =∠2+∠4.

即∠CAE=∠CBF.

∴△CAE ≌△CBF.

∴∠ACE=∠BCF.……………… 2分

(2)∠ACE=∠BCF仍然成立.

证明：连结BE、AF.

∵CD⊥AB，AE⊥AB，

∴∠CDB=∠BAE=90°.

又∵BD = AE，CD = AB ，

△CDB≌△BAE.……………… 3分

∴CB=BE，∠BCD=∠EBA.

在Rt△CDB中，∵∠CDB =90°，

∴∠BCD+∠CBD =90°.

∴∠EBA+∠CBD =90°.

即∠CBE =90°.

∴△BCE是等腰直角三角形.

∴∠BCE=45°.…………………… 4分

同理可证：△ACF是等腰直角三角形.

∴∠ACF=45°.………………… 5分

∴∠ACF=∠BCE.

∴∠ACF-∠ECF =∠BCE-∠ECF.

即∠ACE=∠BCF.……………… 6分

(3)∠ECF的度数为90°- .……………………… 7分

平移变换

1.(大兴23)在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F.

(1)如图1，若点P在BC边上，此时PD=0，易证PD，PE，PF与AB满足的数量关系是PD+PE+PF=AB;当点P在△ABC内时，先在图2中作出相应的图形，并写出PD，PE，PF与AB满足的数量关系，然后证明你的结论;

(2)如图3，当点P在△ABC外时，先在图3中作出相应的图形，然后写出PD，PE，PF与AB满足的数量关系.(不用说明理由)

23.解：(1)结论： ……………………2分

证明：过点P作MN BC

四边形 是平行四边形

……………………………………………3分

四边形 是平行四边形

……………………………………………4分

又 ，MN BC

…………………………………………5分

(2)结论： ……………………………7分

相似

1.(昌平25)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，过点B作BD⊥AC于D，BE平分∠DBC，交AC于E，过点A作AF⊥BE于G，交BC于F，交BD于H. (1)若∠BAC=45°，求证：①AF平分∠BAC;②FC=2HD.

(2)若∠BAC=30°，请直接写出FC与HD的等量关系.

25.解：(1)①∵ BD⊥AC，AF⊥BE，

∴ ∠ADH=∠HGB=90°.

∵ ∠BHG=∠AHD，

∴ ∠HBG=∠HAD.

∵ ∠ABC=∠FGB=90°，

∴ ∠BAF+∠AFB=90°，

∠GBF+∠AFB=90°.

∴ ∠GBF=∠BAF.

∵ BE平分∠DBC，

∴ ∠GBF=∠HBG.

∴ ∠HAD=∠BAF.

即 AF平分∠BAC. …………………2分

②∵ 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=45°，

∴ ∠C=∠BAC = 45°，

∴ AB=BC.

∵ BD⊥AC，

∴ AD=DC= AC.

过点D作KD∥FC交AF于K，

∴ .

∴ FC=2KD. ……………………………4分

∵ BE平分∠DBC，BE⊥AF，

∴ ∠DBE=∠EBF，∠HGB=∠FGB=90°.

∴ ∠BFH=∠BHF.∴ ∠BHF=∠DHK.∴ ∠BFH=∠DHK.

∵ KD∥BC，∴ ∠DKH=∠BFH.∴ ∠DKH=∠DHK.∴ KD=HD.

∴ FC=2HD. …………………………6分

(2)FC= HD. ……………………………8分

2.(房山24)探究问题：

已知AD、BE分别为△ABC 的边BC、AC上的中线，且AD、BE交于点O.

⑴△ABC为等边三角形，如图1，则AO︰OD= ;

⑵当小明做完⑴问后继续探究发现，若△ABC为一般三角形(如图2)，⑴中的结论仍成立，请你给予证明.

⑶运用上述探究的结果，解决下列问题：

如图3，在△ABC中，点E是边AC的中点，AD平分∠BAC, AD⊥BE于点F，若AD=BE=4.

求：△ABC的周长.

图1 图2 图3

24.解：⑴2：1 ---------------------------------------1分

⑵证明：联结DE

∵D、E为AC、BC中点

∴DE∥AB，DE= AB

∴△DOE∽△AOB

∴ ------------------------------------------3分

⑶解：过点C作CG∥BE，交AB延长线于点G，

并延长AD交CG于点H。

∵E是边AC的中点

∴B是边AG的中点

∴BE∥CG

∵AD平分∠BAC, AD⊥BE于点F

∴易证△ABE为等腰三角形

∵BE∥CG

∴△AGC是等腰三角形且AG=AC

∵AF⊥BE

∴AH⊥CG

∴H为CG中点

由上述结果可知：AD:DH=2:1，CD:DB=2:1--------------------------------------------5分

∴DH=2

∵CG=2BE=8

∴CH=GH=4

∴AH=6

∵BE为中位线

∴AF=FH=3

∵BE∥CG

∴DF=1

在Rt△DHC中，得CD= ------------------------6分

同理可得BD=

∴BC=

解Rt△AHC可得AC=

∴AB= -----------------------7分

∴△ABC周长为 ---------------8分

代数中方程、函数与几何

1.(门头沟24) 有两张完全重合的矩形纸片，小亮将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF(如图1)，连结BD、MF，此时他测得BD=8cm，∠ADB=30°.

(1)在图1中，请你判断直线FM和BD是否垂直?并证明你的结论;

(2)小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究.他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K(如图2)，设旋转角为β(0°<β<90°)，当△AFK为等腰三角形时，请直接写出旋转角β的度数;

(3)若将△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2(如图3)，F2M2与AD交于点P，A2M2与BD交于点N，当NP∥AB时，求平移的距离是多少.

24. 解：(1)垂直. …………………………1分

证明：延长FM交BD于N.

如图1，由题意得：△BAD≌△MAF.

∴∠ADB=∠AFM.

又∵∠DMN=∠AMF，

∴∠ADB+∠DMN=∠AFM+∠AMF=90°.

∴∠DNM=90°，∴BD⊥MF. 2分

(2)β的度数为60°或15°(答对一个得1分) 4分

(3)如图2，由题意知四边形PNA2A为矩形，设A2A=x，则PN=x.

在Rt△A2M2F2中，∵M2F2=MF=BD=8，∠A2F2M2=∠AFM=∠ADB=30°.

∴M2A2=4，A2F2= . …………………………..5分

∴AF2= -x.

在Rt△PAF2中，∵∠PF2A=30°.

∴AP=AF2 30°=( -x)• =4- x.

∴PD=AD-AP= -4+ x. ……………..6分

∵NP∥AB，∴ = .∴ = ，

解得x=6- .即平移的距离是(6- )cm………………..7分

2.(西城区24)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8.动点P从点A开始沿折线AC-CB-BA运动，点P在AC，CB，BA边上运动的速度分别为每秒3，4，5 个单位.直线l从与AC重合的位置开始，以每秒 个单位的速度沿CB方向平行移动，即移动过程中保持l∥AC，且分别与CB，AB边交于E，F两点，点P与直线l同时出发，设运动的时间为t秒，当点P第一次回到点A时，点P和直线l同时停止运动

(1)当t = 5秒时，点P走过的路径长为 ;当t = 秒时，点P与点E重合;

(2)当点P在AC边上运动时，将△PEF绕点E逆时针旋转，使得点P的对应点M落在EF上，点F的对应点记为点N，当EN⊥AB时，求t的值;

(3)当点P在折线AC-CB-BA上运动时，作点P关于直线EF的对称点，记为点Q.在点P与直线l运动的过程中，若形成的四边形PEQF为菱形，请直接写出t的值.

24.解:(1) 当t =5秒时，点P走过的路径长为 19 ;当t = 3 秒时，点P与点E重合.

﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分

(2) 如图9，由点P的对应点M落在EF上，点F的对应点为点N，可知∠PEF=∠MEN，都等于△PEF绕点E旋转的旋转角，记为α.

设AP=3t (0< t <2)，则CP= ， .

∵ EF∥AC，∠C=90°，∴ ∠BEF=90°，∠CPE =∠PEF=α.

∵ EN⊥AB，∴ ∠B=∠MEN=α.

∴ .﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分

∵ ， ，

∴ .∴ .﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分

解得 .﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分

(3) t的值为 (秒)或 (秒)﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 7分

3.(朝阳23)正方形ABCD的边长为4，点P是BC边上的动点，点E在AB边上，且∠EPB=60°，沿PE翻折△EBP得到△ . F是CD边上一点，沿PF翻折△FCP得到△ ，使点 落在射线 上.

(1)如图，当BP=1时，四边形 的面积为 ;

(2)若BP=m，则四边形 的面积为 (要求：用含m的代数式表示，并写出m的取值范围).

备用图

23. 解：(1) . ……………………………2分

(2) ( )………4分

( ≤ )……………6分

4.(怀柔24) 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D为AB边上的一动点(D不与A、B重合)， 过点D作DE∥BC，交AC于点E.把△ADE沿直线DE折叠，点A落在点 处.连结 ，

设AD= ，△ADE的边DE上的高为 .

(1)求出 与 的函数关系式;

(2)若以点 、B、D为顶点的三角形与△ABC相似，求 的值;

(3)当 取何值时，△ 是直角三角形.

24. 解：(1)过A点作 ，垂足为M，交DE于N点，则BM= BC=3，

∵DE∥BC，∴ .

在Rt△ABM中, ，------------------------------1分

∵ ,

∴ ∽△ABC-,

∴ ,

∴ , ∴ -------------------------------2分

(2)∵ 由 折叠得到，∴AD= ,AE= ,

∵由(1)可得 是等腰三角形，

∴ ,

∴四边形 是菱形，------------------------------3分

∴ ∥ , ∴ .

又∵ ，

∴只有当 时， ∽ .

∴当 ，即 时,

∴ . ∴当 时， ∽ .--------------------------------4分

(3)第一种情况：当 =90°,

∵ ,而 ≠90°，

∴ ≠90°.-----------------------------------------------………………………5分

第二种情况：当 =90°，

∵四边形 是菱形，∴点 必在 垂直平分线上，即直线 上，

∵ ， ，∴ ，

在Rt△ 中 ，

在Rt△ 中 ，

∴ ，

解得 ，x=0(舍去).---------------------------------6分

第三种情况：当 =90°，

∵ Rt△ ～ Rt△ ,

∴ , ∴

在Rt△ 中, ,

, 解得: . ------…………………7分

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