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2011•襄阳)如图，在平面直角坐标系xoy中，AB在x轴上，AB=10，以AB为直径的⊙O'与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC.CD是⊙O'的切线，AD丄CD于点D，tan∠CAD=

，抛物线y=ax2+bx+c过A，B，C三点.

(1)求证：∠CAD=∠CAB;

(2)①求抛物线的解析式;

②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由;

(3)在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形.若存在，直接写出点P的坐标(不写求解过程);若不存在，请说明理由.

考点：二次函数综合题。

分析：(1)连接O′C，由CD是⊙O的切线，可得O′C⊥CD，则可证得O′C∥AD，又由O′A=O′C，则可证得∠CAD=∠CAB;

(2)①首先证得△CAO∽△BCO，根据相似三角形的对应边成比例，可得OC2=OA•OB，

解答：(1)证明：连接O′C，

∵CD是⊙O的切线，

∴O′C⊥CD，

∵AD⊥CD，

∴O′C∥AD，

∴∠O′CA=∠CAD，

∵O′A=O′C，

∴∠CAB=∠O′CA，

∴∠CAD=∠CAB

(2)①∵AB是⊙O′的直径，

∴∠ACB=90°，

∵OC⊥AB，

∴∠CAB=∠OCB，

∴△CAO∽△BCO，

∴抛物线顶点E在直线CD上;

(3)存在，P1(﹣10，﹣6)，P2(10，﹣36).

点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定与性质，点与函数的关系，直角梯形等知识.此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用.

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