3. (2014•山东枣庄，第22题8分)如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE.

(1)求证：△BOE≌△DOF;

(2)若OD=AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形?请证明你的结论.

考点： 全等三角形的判定与性质;平行四边形的判定与性质;矩形的判定

专题： 计算题.

分析： (1)由DF与BE平行，得到两对内错角相等，再由O为AC的中点，得到OA=OC，又AE=CF，得到OE=OF，利用AAS即可得证;

(2)若OD=AC，则四边形ABCD为矩形，理由为：由OD=AC，得到OB=AC，即OD=OA=OC=OB，利用对角线互相平分且相等的四边形为矩形即可得证.

解答： (1)证明：∵DF∥BE，

∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO，

∵O为AC的中点，即OA=OC，AE=CF，

∴OA﹣AE=OC﹣CF，即OE=OF，

在△BOE和△DOF中，

，

∴△BOE≌△DOF(AAS);

(2)若OD=AC，则四边形ABCD是矩形，理由为：

证明：∵△BOE≌△DOF，

∴OB=OD，

∴OA=OB=OC=OD，即BD=AC，

∴四边形ABCD为矩形.

点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.

4. (2014•山东烟台，第25题10分)在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动.

(1)如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由;

(2)如图②，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，(1)中的结论还成立吗?(请你直接回答“是”或“否”，不需证明)

(3)如图③，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，(1)中的结论还成立吗?请说明理由;

(4)如图④，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图.若AD=2，试求出线段CP的最小值.

考点：全等三角形，正方形的性质，勾股定理，运动与变化的思想.

分析：(1)AE=DF，AE⊥DF.先证得△ADE≌△DCF.由全等三角形的性质得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF;

(2)是.四边形ABCD是正方形，所以AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，DE=CF，所以△ADE≌△DCF，于是AE=DF，∠DAE=∠CDF，因为∠CDF+∠ADF=90°，∠DAE+

∠ADF=90°，所以AE⊥DF;

(3)成立.由(1)同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF，延长FD交AE于点G，再由等角的余角相等可得AE⊥DF;

(4)由于点P在运动中保持∠APD=90°，所以点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为O，连接OC交弧于点P，此时CP的长度最小，再由勾股定理可得

OC的长，再求CP即可.

解答：(1)AE=DF，AE⊥DF.理由：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=DC，∠ADC=∠C=90°.∵DE=CF，∴△ADE≌△DCF.

∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，由于∠CDF+∠ADF=90°，∴∠DAE+∠ADF=90°.∴AE⊥DF;

(2)是;

(3)成立.

理由：由(1)同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF

延长FD交AE于点G，

则∠CDF+∠ADG=90°，

∴∠ADG+∠DAE=90°.

∴AE⊥DF;

(4)如图：

由于点P在运动中保持∠APD=90°，

∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，

设AD的中点为O，连接OC交弧于点P，此时CP的长度最小，

在Rt△ODC中，OC= ，

∴CP=OC﹣OP= .

点评： 本题主要考查了四边形的综合知识.综合性较强，特别是第(4)题要认真分析.