函数最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其着作《代数学》。之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。那么同学们赶快一起来看看函数值域知识点！

配方法:

若函数为一元二次函数，则可以用这种方法求值域，关键在于正确化成完全平方式。

换元法：

常用代数或三角代换法，把所给函数代换成值域容易确定的另一函数，从而得到原函数值域，如y=ax+b+_cx-d(a,b,c,d均为常数且ac不等于0)的函数常用此法求解。

判别式法：

若函数为分式结构，且分母中含有未知数x，则常用此法。通常去掉分母转化为一元二次方程，再由判别式△0，确定y的范围，即原函数的值域。

不等式法：

借助于重要不等式a+bab(a0)求函数的值域。用不等式法求值域时，要注意均值不等式的使用条件一正，二定，三相等。

反函数法：

若原函数的值域不易直接求解，则可以考虑其反函数的定义域，根据互为反函数的两个函数定义域与值域互换的特点，确定原函数的值域，如y=cx+d/ax+b(a0)型函数的值域，可采用反函数法，也可用分离常数法。

单调性法：

首先确定函数的定义域，然后在根据其单调性求函数值域，常用到函数y=x+p/x(p0)的单调性：增区间为(-,-p)的左开右闭区间和(p,+)的左闭右开区间，减区间为(-p,0)和(0,p)

数形结合法：

分析函数解析式表达的集合意义，根据其图像特点确定值域。

注意：

(1)用换元法求值域时，认真分析换元后变量的范围变化;用判别式法求函数值域时，一定要注意自变量x是否属于R。

(2)用不等式法求函数值域时，需要认真分析其等号能否成立;利用单调性求函数值域时，准确找出其单调区间是关键。分段函数的值域应分段分析，再取并集。

(3)不管用哪种方法求函数值域，都一定要先确定其定义域，这是求函数的重要环节。

练习题：

1.设函数g(x)=x2-2(x∈R),f(x)=left{begin{array}{l}g(x)+x+4,x<g(x),g(x)-x,x≥g(x).end{array}right.则f(x)的值域是(     )

A.left[begin{array}{l}-frac{9}{4},0end{array}right]∪(1,+∞)B.[0,+∞)

C.left[begin{array}{l}-frac{9}{4},+∞end{array}right)D.left[begin{array}{l}-frac{9}{4},0end{array}right]∪(2,+∞)

解析:令x0,解得x<-1或x>2.令x≥g(x),而x2-x-2≤0,解得-1≤x≤2.故函数f(x)=left{begin{array}{l}x2+x+2(x<-1或x>2),

x2-x-2(-1≤x≤2).end{array}right.当x<-1或x>2时,函数f(x)>f(-1)=2;当-1≤x≤2时,函数fleft(begin{array}{l}frac{1}{2}end{array}right)≤f(x)≤f(-1),即-frac{9}{4}≤f(x)≤0.故函数f(x)的值域是left[begin{array}{l}-frac{9}{4},0end{array}right]∪(2,+∞).

答案:D

2.设f(x)=left{begin{array}{l}x2,|x|≥1,

x,|x|<1.end{array}right.g(x)是二次函数,若f[g(x)]的值域为[0,+∞),则g(x)的值域是(    )

A.(-∞,-1]∪[1,+∞)

B.(-∞,-1]∪[0,+∞)

C.[0,+∞)

D.[1,+∞)

解析:设t=g(x),则f[g(x)]=f(t),∴t=g(x)的值域即为f(t)的定义域.

画出函数y=f(x)的图象(如图).

[TPTL19.TIF,BP]∵函数f[g(x)]值域为[0,+∞),

∴函数f(t)的值域为[0,+∞).

∵g(x)是二次函数,且g(x)的值域即为f(t)的定义域,

∴由图象可知f(t)的定义域为[0,+∞),

即g(x)的值域为[0,+∞).

答案:C

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