三角形按角分类

根据三角形的内角和定理可知,三角形的任一个内角都小于180°,其内角可能都是锐角,也可能有一个直角或一个钝角.

三角形按角可分类如下：

根据三角形的内角和定理可有如下推论：

推论1 直角三角形的两个锐角互余.

推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

同时我们还很容易得到如下几条结论：

(1)一个三角形最多有一个直角或钝角.

(2)一个三角形至少有两个内角是锐角.

(3)一个三角形至少有一个角等于或小于60°(否则,若三个内角都大于60°;则这个三角形的内角和大于180°,这与定理矛盾).

(4) 三角形有六个外角,其中两两是对顶角相等,所以三角形的三个外角和等于360°.

全等三角形的性质

全等三角形的两个基本性质

(1)全等三角形的对应边相等.

(2)全等三角形的对应角相等.

确定两个全等三角形的对应边和对应角

怎样根据已知条件准确迅速地找出两个全等三角形的对应边和对应角?其方法主要可归结为：

(1)若两个角相等,这两个角就是对应角,对应角的对边是对应边.

(2)若两条边相等,这两条边就是对应边,对应边的对角是对应角.

(3)两个对应角所夹的边是对应边.

(4)两个对应边所夹的角是对应角.

由全等三角形的定义判定三角形全等

由全等三角形的定义知,要判定两个三角形全等,需要知道三条边,三个角对应相等,但在应用中,利用定义判定两个三角形全等却是十分麻烦的,因而需要找到能完全确定一个三角形的条件,以便用较少的条件,简便的方法来判定两个三角形的全等.

判定两个三角形全等的边、角、边公理

内容：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(即SAS).

这个判定方法是以公理形式给出的,我们可以通过实践操作去验证它,但验证不等于证明,这点要区分开来.

公理中的题设条件是三个元素：边、角、边,意指两条边和这两条边所夹的角对应相等.不能理解成两边和其中一个角相等.否则,这两个三角形就不一定全等.

例如 在△ABC和△A′B′C′中,

如右图,AB=A′B′,∠A=∠A′,

BC=A′C′,但是△ABC不全等于

△A′B′C′.

又如,右图,在△ABC和△A′B′C′中,AB=A′B′,∠B=∠B′,AC=A′C′,但△ABC和△A′B′C′不全等.

原因就在于两边和一角对应相等不是

公理中所要求的两边和这两条边的夹

角对应相等的条件.

说明：从以上两例可以看出,SAS≠SSA.

判定两个三角形全等的第二个公理

内容：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(即ASA).

这个公理也应该通过画图和实验去进一步理解它.

公理强调了两角和这两角的夹边对应相等,这里实质上包含了一个顺序关系.千万不能理解成为在其中一个三角形中是两角和其夹边,而在另一个三角形中却是两角和其中一角的对边.

如右图,在△ABC和△A′B′C′中,

∠A=∠A′,∠B=∠B′,AB=A′C′,

但这两个三角形显然不全等.原因就是

没有注意公理中“对应”二字.

公理一中的边、角、边,其顺序是不能改变的,即SAS不能改为SSA或ASS.而ASA

公理却能改变其顺序,可改变为AAS或SAA,但两个三角形之间的“对应”二字不能变.同时这个公理反映出有两个角对应相等,实质上是在两个三角形中有三个角对应相等,故在应用过程中只须注意有一条对应边相等就行了.

由公理二可知,有一个锐角与一条边对应相等的两个直角三角形全等

判定两个三角形全等的边、边、边公理

公理：三条边对应相等的两个三角形全等(即边、边、边公理).

边、边、边公理在判定两个三角形全等时,其对应边就是相等的两条边.

这个公理告诉我们,只要一个三角形的三边长度确定了,则这个三角形的形状就完全确定了.这就是三角形的稳定性.

判定两个三角形全等

通过以上三个公理的学习,可以知道,在判定两个三角形全等时,无需根据定义去判定两个三角形的三角和三边对应相等,而只需要其中三对条件.

三个角和三条边这六个条件中任取三个条件进行组合.无非有如下情况：

(1)三边对应相等.

(2)两边和一角对应相等.

(3)一边和两角对应相等.

(4)三角对应相等.

HL公理

我们知道,满足边、边、角对应相等的两个三角形不一定全等.

但是,对于两个直角三角形来说,这个结论却一定成立.

斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写为HL).

这个公理的题设实质上也是三个元素对应相等,其本身包含了一个直角相等.这种边、 边、角对应相等的两个三角形全等成立的核心是有一个角是直角的条件.由于直角三角形是一种特殊的三角形,所以过去学过的四种判定方法对于直角三角形照常适用.

角平分线的性质定理和逆定理

性质定理：在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

逆定理：到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.

点在角平分线上点到这个角的两边距离相等.

用符号语言表示角平分线的性质定理和逆定理

性质定理：

∵P在∠AOB的平分线上

PD⊥OA,PE⊥OB

∴PD=PE

逆定理：

∵PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB

∴点P在∠AOB的平分线上.