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小学奥数数论问题解析:约数与倍数

2016-10-21

奥数注重学生分析、解决问题能力的培养,有它独特的解题思路和方法,快来做做奥数题来锻炼自己吧!下面是为大家收集到的奥数数论问题解析约数与倍数,供大家参考。

已知x、y为正整数,且满足xy-( x+y )=2p+q,其中p、q分别是x与y的最大公约数和最小公倍数,求所有这样的数对(x,y ) (x≥y )

考点:约数与倍数.

分析:此题需分类讨论,①当x是y的倍数时,设x=ky(k是正整数).解方程k(y-2)=3;②当x不是y的倍数时,令x=ap,y=bp,a,b互质,则q=abp.解方程abp-1=(a-1)(b-1)即可.解答:解:①当x是y的倍数时,设x=ky(k是正整数).

则由原方程,得

ky•y-(ky+y)=2y+ky,

∵y≠0,

∴ky-(k+1)=2+k,

∴k(y-2)=3,

当k=1时,x=5,y=5;

当k=3时,x=9,y=3;

小学奥数数论问题解析:约数与倍数

②当x不是y的倍数时,令x=ap,y=bp,a,b互质,则q=abp,代入原式

得:abp2-(ap+bp)=2p+abp,即abp-1=(a-1)(b+1)

当p=1时,a+b=2,可求得a=1,b=1,此时不满足条件;

当p>1时,abp≥2ab-1=ab+(ab-1)≥ab>(a-1)(b-1)

此时,abp-1=(a-1)(b+1)不满足条件;

综上所述,满足条件的数对有

小学奥数数论问题解析:约数与倍数

点评:本题主要考查的是最大公约数与最小公倍数.由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积.即(a,b)×[a,b]=a×b.所以,求两个数的最小公倍数,就可以先求出它们的最大公约数,然后用上述公式求出它们的最小公倍数.

学子朋友们,本站编辑为您介绍的奥数数论问题解析约数与倍数,希望能够为您的学习提供一丝帮助。

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