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小升初数学必考知识点:数论综合

编辑:sx_wanghf

2014-04-21

小升初数学必考知识点:数论综合

内容概述

涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题,以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题。

1.如果把任意n个连续自然数相乘,其积的个位数字只有两种可能,那么n是多少?

【分析与解】  我们知道如果有5个连

续的自然数,因为其内必有2的倍数,也有5的倍数,则它们乘积的个位数字只能是0。

所以n小于5.

第一种情况:当n为4时,如果其内含有5的倍数(个位数字为O或5),显然其内含有2的倍数,那么它们乘积的个位数字为0;

如果不含有5的倍数,则这4个连续的个位数字只能是1,2,3,4或6,7,8,9;它们的积的个位数字都是4;

所以,当n为4时,任意4个连续自然数相乘,其积的个位数字只有两科可能。

第二种情况:当n为3时,有1×2×3的个位数字为6,2×3×4的个位数字为4,3×4×5的个位数字为0,……,不满足。

第三种情况:当n为2时,有1×2,2×3,3×4,4×5的个位数字分别为2,6,4,0,显然不满足。

至于n取1显然不满足了。

所以满足条件的n是4.

2.如果四个两位质数a,b,c,d两两不同,并且满足,等式a+b=c+d.那么,

(1)a+b的最小可能值是多少?

(2)a+b的最大可能值是多少?

【分析与解】两位的质数有11,13,17,19,23,29,3l,37,41,43,47,53,59,6l,

67,71,73,79,83,89,97.

可得出,最小为11+19=13+17=30,最大为97+71=89+79=168.

所以满足条件的a+b最小可能值为30,最大可能值为168.

3.如果某整数同时具备如下3条性质:

①这个数与1的差是质数;

②这个数除以2所得的商也是质数;

③这个数除以9所得的余数是5.

那么我们称这个整数为幸运数。求出所有的两位幸运数。

【分析与解】  条件①也就是这个数与1的差是2或奇数,这个数只能是3或者偶数,再根据条件③,除以9余5,在两位的偶数中只有14,32,50,68,86这5个数满足条件。

其中86与50不符合①,32与68不符合②,三个条件都符合的只有14.

所以两位幸运数只有14.

4.在555555的约数中,最大的三位数是多少?

【分析与解】555555=5×111×1001

=3×5×7×11×13×37

显然其最大的三位数约数为777.

5.从一张长2002毫米,宽847毫米的长方形纸片上,剪下一个边长尽可能大的正方形,如果剩下的部分不是正方形,那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。按照上面的过程不断地重复,最后剪得正方形的边长是多少毫米?

【分析与解】 从长2002毫米、宽847毫米的长方形纸板上首先可剪下边长为847毫米的正方形,这样的正方形的个数恰好是2002除以847所得的商。而余数恰好是剩下的长方形的宽,于是有:2002÷847=2……308,847÷308=2……231,308÷231=1……77.231÷77=3.

不难得知,最后剪去的正方形边长为77毫米。

6.已知存在三个小于20的自然数,它们的最大公约数是1,且两两均不互质。请写出所有可能的答案。

【分析与解】  设这三个数为a、b、c,且a

小于20的合数有4,6,8,9,10,12,14,15,16,18.其中只含1种因数的合数不满足,所以只剩下6,10,12,14,15,18这6个数,但是14=2×7,其中质因数7只有14含有,无法找到两个不与14互质的数。

所以只剩下6,10,12,15,18这5个数存在可能的排列。

所以,所有可能的答案为(6,10,15);(10,12,15);(10,15,18)。

7.把26,33,34,35,63,85,91,143分成若干组,要求每一组中任意两个数的最大公约数是1.那么最少要分成多少组?

【分析与解】26=2×13,33=3×11,34=2×17,35=5×7,63= ×7,85=5×17,91=7×13,143=11×13.

由于质因数13出现在26、91、143三个数中,故至少要分成三组,可以分成如下3组:

将26、33、35分为一组,91、34、33分为一组,而143、63、85分为一组。

所以,至少要分成3组。

8.图10-1中两个圆只有一个公共点A,大圆直径48厘米,小圆直径30厘米。两只甲虫同时从A出发,按箭头所指的方向以相同的速度分别爬了几圈时,两只甲虫首次相距最远?

【分析与解】  圆内的任意两点,以直径两端点得距离最远。如果沿小圆爬行的甲虫爬到A点,沿大圆爬行的甲虫恰好爬到B点,两甲虫的距离便最远。

小圆周长为 ×30=307r,大圆周长为48 ,一半便是24 ,30与24的最小公倍数时120.

120÷30=4.120÷24=5.

所以小圆上甲虫爬了4圈时,大圆上甲虫爬了5个 圆周长,即爬到了过A的直径另一点B.这时两只甲虫相距最远。

9.设a与b是两个不相等的非零自然数。

(1)如果它们的最小公倍数是72,那么这两个自然数的和有多少种可能的数值?

(2)如果它们的最小公倍数是60,那么这两个自然数的差有多少种可能的数值?

【分析与解】  (1)a与b的最小公倍数72=2×2×2×3×3,有12个约数:1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72.不妨设a>b.

第一种情况:当a=72时,b可取小于72的11种约数,a+b≥72+1=73;

第二种情况:当a=36时,b必须取8或24,a+b的值为44或60,均不同第一种情况中的值;

第三种情况:当a=24时,b必须取9或18,a+b的值为33或42,均不同第一、二种情况中的值;

第四种情况:当a=18时,b必须取8,a+b=26,不同于第一、二、三种情况的值;

第五种情况:当a=12时,b无解;

第六种情况:当a=9时,b必须取8,a+b=17,不同于第一、二、三、四情况中的值。

总之,a+b可以有ll+2+2+1+1=17种不同的值。

(2)60=2×2×3×5,有12个约数:1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60.a、b为60的约数,不妨设a>b.

第一种情况:当a=60时,b可取60外的任何一个数,即可取11个值,于是a-b可取11种不同的值:59,58,57,56,55,54,50,48,45,40,30;

第二种情况:当a=30时,b可取4,12,20,于是a-b可取26,18,10;

第三种情况:当a=20时,b可取3,6,12,15,所以a-b可取17,14,8,5;

第四种情况当a=15时,b可取4,12,所以a-b可取11,3;

第五种情况: 当a=12时,b可取5,10,所以a-b可取7,2.

总之,a-b可以有11+3+4+2+2=22种不同的值。

11.在小于1000的自然数中,分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)

【分析与解】  我们知道18,33的最小公倍数为[18,33]=198,所以每198个数一次。

1~198之间只有1,2,3,…,17,198(余O)这18个数除以18及33所得的余数相同,而999÷198=5……9,所以共有5×18+9=99个这样的数。

12.甲、乙、丙三数分别为603,939,393.某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍,A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍。求A等于多少?

【分析与解】  由题意知4倍393除以A的余数,等于2倍939除以A的余数,等于甲603除以A的余数。

即603÷A=a……k;(2×939)÷A=b……k;(4×393)÷A=c……k.

于是有(1878-603)÷A=b-a;(1878-1572)÷A=b-c;(1572-603)÷A=c-a.

所以A为1275,306,969的约数,(1275,306,969)=17×3=51.

于是,A可能是51,17(不可能是3,因为不满足余数是另一余数的4倍)。

当A为51时,有603÷51=11……42;939÷51=18……21;393÷51=7……36.不满足;

当A为17时,有603÷17=35……8;939÷17=55……4;393÷17=23……2;满足。

所以,除数4为17.

13.证明:形如11,111,1111,11111,…的数中没有完全平方数。

【分析与解】  我们知道奇数的完全平方数是奇数,偶数的完全平方数为偶数,而奇数的完全平方数除以4余1,偶数的完全平方数能被4整除。

现在这些数都是奇数,它们除以4的余数都是3,所以不可能为完全平方数。

评注:设奇数为2n+1,则它的平方为 +4n+1,显然除以4余1.

14.有8个盒子,各盒内分别装有奶糖9,17,24,28,30,31,33,44块。甲先取走一盒,其余各盒被乙、丙、丁3人所取走。已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的2倍。问:甲取走的一盒中有多少块奶糖?

【分析与解】  我们知道乙、丙、丁三人取走的七盒中,糖的块数是丁所取糖块数的5倍。

八盒糖总块数为9+17+24+28+30+31+33+44=216.

从216减去5的倍数,所得差的个位数字只能是1或6.

观察各盒糖的块数发现,没有个位数字是6的,只有一个个位数字是1的数31.

因此甲取走的一盒中有3l块奶糖。

15.在一根长木棍上,有三种刻度线。第一种刻度线将木棍分成10等份;第二种将木棍分成12等份;第三种将木棍分成15等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断,那么木棍总共被锯成多少段?

【分析与解】  10,12,15的最小公倍数[10,12,15]=60,把这根木棍的1/60作为一个长度单位,这样,木棍10等份的每一等份长6个单位;12等份的每等份长5个单位;15等份的每等份长4单位。

不计木棍的两个端点,木棍的内部等分点数分别是9,11,14(相应于10,12,15等份),共计34个。

由于5,6的最小公倍数为30,所以10与12等份的等分点在30单位处相重,必须从34中减1.

又由于4,5的最小公倍数为20,所以12与15等份的等分点在20单位和40单位两处相重,必须再减去2.

同样,6,4的最小公倍数为12,所以15与10等份的等分点在12,24,36,48单位处相重,必须再减去4.

由于这些相重点各不相同,所以从34个内分点中减去1,再减去2,再减去4,得27个刻度点。沿这些刻度点把木棍锯成28段。

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