【摘要】如何让小学生学会用数学的思维方式去观察和分析生活，如何帮助他们更好地学好数学这门学科呢?精品学习网小学频道精心准备了数论问题整数拆分的练习题，希望对大家有所帮助!

1、将一根长144厘米的铁丝,做成长和宽都是整数的长方形,共有______种不同的做法 其中面积最大的是哪一种长方形

(1992年"我爱数学"邀请赛试题)

讲析:做成的长方形,长与宽的和是

144÷2=72(厘米).

因为72=1+71=2+70=3+69=……=35+37=36+36,

所以,一共有36种不同的做法.

比较以上每种长方形长与宽的积,可发现:当长与宽都是36厘米时,面积最大.

2、若干只同样的盒子排成一列，小明把42个同样的小球放在这些盒子里然后外出，小聪从每只盒子里取出一个小球，然后把这些小球放到小球最少的盒子里去，在把盒子从新排列了一下。小明回来，仔细查看，没有发现友人动过小球和盒子。问：一共有多少只盒子?

分析：设原来小球数最少的盒子里装有a只小球，现在增加到了b只，但小明发现没有人动过小球和盒子，这说明现在又有了一只装有a个球的盒子，这只盒子原来装有a+1个小球，

同理，现在另有一个盒子里装有a+1个小球，这只盒子里原来装有a+2个小球。

依此类推可知：原来还有一个盒子里装有a+3个小球，a+4个小球等等，故原来那些盒子里装有的小球数是一些连续自然数。

现在这个问题就变成了：将42分拆成若干个连续整数的和，一共有多少种分法，每一种分法有多少个加数?

因为42=6×7，故可将42看成7个6的和，又：

(7+5)+(8+4)+(9+3)

是六个6，从而：

42=3+4+5+6+7+8+9

一共有7个加数;又因为42=14×3，可将42写成13+14+15，一共有3个加数;

又因为42=21×2，故可将42写成9+10+11+12，一共有4个加数。

解：本题有三个解，一共有7只盒子，4只盒子，3只盒子。

点金术：巧用假设和推理把已知和未知联系起来。

3、将1992表示成若干个自然数的和,如果要使这些数的乘积最大,这些自然数是______.

(1992年武汉市小学数学竞赛试题)

讲析:若把一个整数拆分成几个自然数时,有大于4的数,则把大于4的这个数再分成一个2与另一个大于2的自然数之和,则这个2与大于2的这个数的乘积肯定比它大.又如果拆分的数中含有1,则与"乘积最大"不符.

所以,要使加数之积最大,加数只能是2和3.

但是,若加数中含有3个2,则不如将它分成2个3.因为2×2×2=8,而3×3=9.

所以,拆分出的自然数中,至多含有两个2,而其余都是3.

而1992÷3=664.故,这些自然数是664个3.

4、把50分成4个自然数,使得第一个数乘以2等于第二个数除以2;第三个数加上2等于第四个数减去2,最多有______种分法.

(1990年《小学生报》小学数学竞赛试题)

讲析:设50分成的4个自然数分别是a,b,c,d.

因为a×2=b÷2,则b=4a.所以a,b之和必是5的倍数.

那么,a与b的和是5,10,15,20,25,30,35,40,45.

又因为c+2=d-2,即d=c+4.所以c,d之和加上4之后,必是2的倍数.

则c,d可取的数组有:

(40,10),(30,20),(20,30),(10,40).

由于40÷5=8,40-8=32;(10-4)÷2=3,10-3=7,

得出符合条件的a,b,c,d一组为(8,32,3,7).

同理得出另外三组为:(6,24,8,12),(4,16,13,17),(2,8,18,22).

所以,最多有4种分法.

5、把945写成连续自然数相加的形式,有多少种

(第一届"新苗杯"小学数学竞赛试题)

讲析:因为945=35×5×7,它共有(5+1)×(1+1)×(1+1)=16(个)奇约数.

所以,945共能分拆成16-1=15(种)不同形式的连续自然数之和.

5、几个连续自然数相加,和能等于1991吗 如果能,有几种不同的答案 写出这些答案;如果不能,说明理由.

(全国第五届《从小爱数学》邀请赛试题)

讲析:1991=11×181,它共有(1+1)×(1+1)=4(个)奇约数.

所以,1991可以分成几个连续自然数相加,并且有3种答案.

由1991=1×1991得:

1991=995+996.

由1991=11×181得:

…+(80+101)

=80+81+……+100+101.

6、一道简单的问题是：用1、+、×、()的运算来分别表示23和27，哪个数用的1较少?要表达2008，最少要用多少个1?

我们先给出从1到15的表达式。

1=1,

2=1+1,

3=1+1+1,

4=(1+1)×(1+1)，

5=(1+1)×(1+1)+1,

6=(1+1)×(1+1+1),

7=(1+1)×(1+1+1)+1,

8=(1+1)×(1+1)×(1+1),

9=(1+1+1)×(1+1+1),

10=(1+1)×((1+1)×(1+1)+1),

11=(1+1)×((1+1)×(1+1)+1)+1,

12=(1+1+1)×(1+1)×(1+1),

13=(1+1+1)×(1+1)×(1+1)+1,

14= (1+1)×((1+1)×(1+1+1)+1),

15= (1+1+1)×((1+1)×(1+1)+1)。

把用1的个数写成数列，就是{1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 7, 8, 8, 8, ...}。

对于23，

23 = (1+1)×((1+1)×((1+1)×(1+1)+1)+1)+1，

1的个数为11。

对于27，

27 = (1+1+1) × (1+1+1) × (1+1+1)

1的个数为9。

对于2008这样的大数，要寻找表达式很困难。

我找到的表达式是

(((1+1)×(1+1)×(1+1+1)×(1+1+1)+1)×(1+1)×(1+1+1)+1)×(1+1+1)×(1+1+1)+1=2008

一共用了24个1，但是不是用了最少的1，证明起来有一定难度。

7、下面这道题出自斯坦福大学入学考试题。

有一天非常热，四对夫妇共饮了44瓶可乐。女士安喝了2瓶，贝蒂喝了3瓶，卡罗尔喝了4瓶，多萝西喝了5瓶。布朗先生和他的妻子喝得一样多，但是其他三位男士都比各自的妻子喝得多：格林先生是其妻的两倍，怀特先生是三倍，史密斯先生是四倍。请说出四位女士的姓。

在美国，妻子与丈夫同姓。解决本题的方法之一是解不定方程。下面我们换一种方法，就是整数的拆分。

44瓶可乐，减去女士已经喝掉的14瓶，还剩30瓶。先按照每个男士和女士喝得一样多，再减掉男士喝掉的14瓶，还剩16瓶。本题的实质是把16拆分成2、3、4、5中的某3个数的1、2、3。倍之和。

显然，5或者4的3倍加上2、3会超过16，3的3倍也不行，只有2的3倍是一个可行的数。

16去掉6后还剩下10。也就是要把10拆分成3、4、5中某2个数的1、2倍之和，结果就是2个3和1个4。

最后，我们得到的答案是

44=2+3+4+5+4×2+3×3+2×4+1×5。

和题目描述的对比一下，就可以知道四位女士的姓名了：安·史密斯，贝蒂·怀特，卡罗尔·格林，多萝西·布朗。

用整数的拆分方法来解整数方程，也是一条好途径。

8、子女的年龄

题目的描述是这样的：一个经理有3个女儿，3个女儿的年龄加起来等于13，3个女儿的年龄乘起来等于经理自己的年龄，有1个下属已知道经理的年龄，但仍不能确定经理3个女儿的年龄，这时经理说只有1个女儿的头发是黑的，然后这个下属就知道了经理3个女儿的年龄。请问三个女儿的年龄分别是多少?为什么?

题目也可能变为：两个俄国数学家在飞机相遇。伊凡问：如果我没有记错的话，你有3个儿子，他们都多大了?艾格回答：他们的年龄乘积是36，年龄之和是今天的日期。伊凡思考了一分钟后，说：可是你并没有告诉我你儿子的岁数。艾格说：忘了告诉你，我小儿子的头发是红色的。伊凡回答：那就很清楚了，我知道你儿子的岁数了。伊凡是怎么知道艾格儿子们的岁数的?

这道题也很经典，难度不算太大，经常改头换面地出现在各类趣味数学书本中。因为解题过程不需要高深的数学知识，只涉及简单的加数拆分和因素分解，但要求缜密的逻辑性和足够的耐心。

我们把这些都列成表。在女儿猜数中，出现了两个相同的乘积36，导致判断困难，因此可以断定父亲的年龄为36;由于只有一个女儿的头发是黑的，去掉了两个小女儿同为2岁的可能性，结果因此就出来了，女儿的岁数分别是1、6、6。在儿子的猜数中，出现了2个相同的和13，导致了判断困难。由于只有一个儿子的头发是红的，排除了两个儿子同为2岁的可能性，因此结果也是三个儿子分别为1、6、6岁，当天日期为本月的13日。

和数女儿1女儿2女儿3乘积

13111111

13121020

1313927

1314832

1315735

1316636

1322936

1323848

1324756

1325660

1333763

1334672

1335575

乘积儿子1儿子2儿子3和数

36113638

36121821

36131216

3614914

3616613

3622913

3623611

3633410

8、从不知道到知道

有两个非常好的逻辑学家朋友P和S。他们在猜两个整数x、y.。已知1

P说：我不知道这两个数。

S说：我知道你不知道。

P说：我知道了这两个数。

S说：我也知道了。

根据两人的对话，你能判断x与y到底是多少吗?

这是一道更加经典同时难度更大的趣味数学题，是精品中的精品。我们就来慢慢分析整个思维过程吧。

首先，两个乘数因子不能是两个不同素数的乘积，不然P就一定能知道两个数是多少。

我们先列出100以内所有的素数，2,3,5,7,11,13, 17,19,23,29,31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97。

我们可以用一个数表列出所有两个素数的和，凡是在表中出现的和都不该是两人要猜测的数的和。

于是，我们100以内还剩下的和有11、17、23、27、29、35、37、41、47、51、53、57、59、61、65、67、77、79、83、87、89、93、95、97。

34×17可以直接导出两数之和51、38×19 可以直接导出两数之和57，29×58可以直接导出两数之和87，31×62可以直接导出两数之和93，因此51、57、87、93可以排除。

由于53×6=106×2会导致两数之和超过100，因此数59、61、65、67、77、79、83、89、95、97也被排除在外。

剩下的和数的数列就是11、17、23、27、29、35、37、41、47、53。

我们继续进行。

此数是11吗?

因为24=3×8、28=4×7，S知道和为11，却无法断定出P。

此数是23吗?

76=4×19,112=16×7, S知道和为23，却无法断定出P。

同样，可以排除29、35、37、41、47、51和53这些数字和。

现在轮到17了。

S=17=2+15，P=2×15=5×6，导出S=11，11在可能的和数之列，被排除。

S=17=6+11，P=6×11=2×33，导出S=35，35在可能的和数之列，被排除。

S=17=7+10，P=7×10=2×35，导出S=37，37在可能的和数之列，被排除。

S=17=8+9，P=8×9=3×24，导出S=27，27在可能的和数之列，被排除。

现在只剩下S=17=4+13，P=4×13=52=2×26，导出S=28，不在上述的和数之列。

答案露出水面，这两个数是4和13。

简单的描述后面，是严谨的逻辑和繁琐筛选过程。出题者一定是真正的数学大师。然而，这道题到底源自何人，我不得而知。

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