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2014年小升初关于整除问题的模拟题及解析

编辑:sx_wuqb

2014-04-09

同学们与数学交朋友都是从整数 1、2、3、⋯⋯开始的,现在大家都有 了一些关于整数方面的知识,但这仅仅是整数中最简单、最基本的内容,还有许许多多奥妙的理论与问题等待着我们去发现、去创造。陈景润爷爷所研 究的“哥德巴赫猜想”就是整数中的一个著名的问题,他已取得了世界上令 人嘱目的领先地位。

本章概念多、理论性强,希望大家在弄清概念的基础上要记牢规律,它 对于解答整数问题,一定有很大的帮助。

本章所研究的数或英文字母,仍指零和自然数(统称叫整数)。

例 1 四位数3A71能被9整除,求 A。 (美国长岛小学数学比赛题)

解:根据“如果一个数各位上的数的和能被 9 整除,那么这个数能被 9整除”的规律,要使四位数3A71能被 9整除,那么3+A +7+ 1=11+A必须能被9整除。这里,A 是 0~9 中的整数,因此, A+11=18,得 A=7。 答:A 是7。

说明:为了学好《整除问题》,必须牢记能被一些常用数(如 2、5、4、25、8、125、3、9、7 11、13⋯⋯)整除的数的特征以及整数的基本性质。

现在分别叙述如下:

(一)能被一个数整除的数的特征

(1)能被 2 或 5 整除的数的特征是:这个数的末一位数能被 2 或 5 整除;

(2)能被 4 或 25 整除的数的特征是:这个数的末两位数能被 4 或 25 整除;

(3)能被 8 或 125 整除的数的特征是:这个数的末三位数能被 8 或 125 整除;

(4)能被 9 或 3 整除的数的特征是:这个数的各个数位上的数之和能被9 或 3 整除;

(5)能被 11 整除的数的特征是:这个数奇数位上数的和与偶数位上数的和之差(或反过来)能被 11 整除;

(6)能被 7、11、13 整除的数的特征是:这个数的末三位数与末三位以 前的数之差(或反过来)能被 7、 11、 13 整除。

(二)整数的基本性质

(1)如果两个整数都能被同一个自然数整除,那么这两个数的和或差也 能被这个自然数整除。

如: 18 与 12 都能被 3 整除,所以 18 与 12 的和 30 也能被 3 整除, 18 与 12 的差 6 也能被 3 整除。

(2)如果一个整数能被一个自然数整除,那么这个数的整数倍也能被这个自然数整除。

如: 14 能被 7 整除,所以 14×5 的积 70 也能被 7 整除。

(3)如果一个整数能被两个互质数中的每一个数整除,那么这个整数能 被这两个互质数的积整除。

如:60 能被 3 整除,也能被 5 整除,3 与 5 是互质数,所以 60 能被 3×

5 的积 15 整除。

例 2 如果六位数□8919□能被 33 整除,那么这个六位数是多少? 解:设这个六位数为 W,并且它的十万位上的数为 x,个位上的数为 y(也就是 W=x8919y)。

因为 33=3×11,3 与 11 是互质数,所以根据整数的基本性质(3),可 得如果 W 能被 3、11 整除,那么 W 就能被 3×11=33 整除。

要使 W 能被 3 整除,必须使 x+8+9+1+9+y=27+x+y 能被 3 整除,因为 27 能被 3 整除,如果 x+y 也能被 3 整除,那么根据整数的基本性质(1) 可得 27+x+y 能被 3 整除,从而 W 能被 3 整除。

要使 W 能被 11 整除,必须使(9+9+x)-(y+1+8)=9+(x-y) 能被 11 整除。

综合以上情况,得

x+y 能被 3 整除⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(1)

9+(x-y)能被 11 整除⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2)

因为 x、y 均是 0~9 中的整数(x≠0),所以,9+(x-y)=11,即 x=y+2。

当 y=0、1、2、3、4、5、6、7 时, x=2、3、4、5、6、7、8、9。 由(1),可得 y=2,x=4 或 y=5,x=7。 所以 W=489192 或 789195。

答:这个六位数是 489192 或 789195 2014年小升初关于整除问题的模拟题及解析

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