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小升初奥数数论完全平方数知识点

编辑:sx_duxl

2016-10-31

要想学好奥数,就要掌握其中的奥妙,知道它所用的方法。下面为大家分享奥数数论完全平方数知识点,希望对大家有帮助!

一、完全平方数的定义:

一个数如果是另一个整数的完全平方,那么我们就称这个数为完全平方数,也叫做平方数。

二、完全平方数特征:

1.末位数字只能是:0、1、4、5、6、9;反之不成立。

2.除以3余0或余1;反之不成立。

3.除以4余0或余1;反之不成立。

4.约数个数为奇数;反之成立。

5.奇数的平方的十位数字为偶数;反之不成立。

6.奇数平方个位数字是奇数;偶数平方个位数字是偶数。

7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。

平方差公式:X2-Y2=(X-Y)(X+Y)

完全平方和公式:(X+Y)2=X2+2XY+Y2

完全平方差公式:(X-Y)2=X2-2XY+Y2

三、完全平方数的性质:

性质1:完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。

性质2:奇数的平方的个位数字为奇数,十位数字为偶数。

四、例题

例1、一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数,求此数。

解:设此自然数为x,依题意可得

x-45=m^2................(1)

x+44=n^2................(2)(m,n为自然数)

(2)-(1)可得 n^2-m^2=89, (n+m)(n-m)=89

但89为质数,它的正因子只能是1与89,于是。解之,得n=45。代入(2)得。故所求的自然数是1981。

例2、求证:四个连续的整数的积加上1,等于一个奇数的平方。

分析:设四个连续的整数为n,(n+1),(n+2),(n+3),其中n为整数。欲证

n(n+1)(n+2)(n+3)+1是一奇数的平方,只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。

证明:设这四个整数之积加上1为m,则

m=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2=[n(n+1)+(2n+1)]^2

 

而n(n+1)是两个连续整数的积,所以是偶数;又因为2n+1是奇数,因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。

以上是为大家分享的奥数数论完全平方数知识点,希望大家能够认真学习,并祝大家取得好成绩!

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