全国高中数学联赛试题精编

编辑:sx_gaohm

2015-12-21

数学是一切科学的基础,精品学习网为大家推荐了全国高中数学联赛试题,请大家仔细阅读,希望你喜欢。

一、 选择题(本题满分36分,每小题6分)

1、函数f (x)=log1/2(x2-2x-3)的单调递增区间是(  )。

(A)(-∞,-1)  (B)(-∞,1)  (C)(1,+∞)  (D)(3, +∞)

2、若实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=142,则x2+y2的最小值为(   )。

(A)2   (B)1   (C)√3    (D)√2

3、函数f(x)=x/1-2x-x/2(   )

(A)是偶函数但不是奇函数     (B)是奇函数但不是偶函数

(C)既是偶函数又是奇函数     (D)既不是偶函数也不是奇函数

4、直线x/4+y/3=1与椭圆x2/16+y2/9=1相交于A,B两点,该椭圆上点P,使得ΔPAB面积等于3,这样的点P共有(   )。

(A)1个    (B)2个    (C)3个    (D)4个

5、已知两个实数集合A={a1,a2,…,a100}与B={b1,b2,…,b50},若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象,且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)则这样的映射共有(   )。

(A)C50100    (B)C4899    (C)C49100     (D)C4999

6、由曲线x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V1;满足x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的点(x,y)组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2,则(   )。

(A)V1=(1/2)V2 (B)V1=(2/3)V2 (C)V1=V2 (D)V1=2V2

二、 填空题(本题满分54分,每小题9分)

7、已知复数Z1,Z2满足∣Z1∣=2,∣Z2∣=3,若它们所对应向量的夹角为60°,则∣(Z1+Z2)/(Z1+Z2)∣=     。

8、将二项式(√x+1/(24√x))n的展开式按x的降幂排列,若前三项系数成等差数列,则该展开式中x的幂指数是整数的项共有     个。

9、如图,点P1,P2,…,P10分别是四面体顶点或棱的中点,那么在同一平面上的四点组(P1,Pi,Pj,Pk)(1

10、已知f(x)是定义在R上的函数,f(1)=1且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=    。

11、若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1,则∣x∣-∣y∣的最小值是    。

12、使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是   。

三、解答题(本题满分60分,每小题20分)

13、已知点A(0,2)和抛物线y2=x+4上两点B,C使得AB⊥BC,求点C的纵坐标的取值范围。

14、如图,有一列曲线P0,P1,P2……,已知P0所围成的图形是面积为1的等边三角形,Pk+1是对Pk进行如下操作得到:将Pk的每条边三等分,以每边中间部分的线段为边,向外作等边三角形,再将中间部分的线段去掉(k=0,1,2,)。记Sn为曲线Pn所围成图形的面积。

(1) 求数列{Sn}的通项公式;

(2) 求limSn.

n→∞

15、设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)满足条件:

(1) 当x∈R时,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x;

(2) 当x∈(0,2)时,f(x)≤((x+1)/2)2;

(3) f(x)在R上的最小值为0.

求最大的m(m>1),使得存在t∈R,只要x∈[1,m],就有f(x+t)≤x。

参考答案

一、 选择题

1、 由x2-2x-3>0有x<-1或x>3,故函数log1/2(x2-2x-3)的定义域为x<-1

或x>3。二次函数u=x2-2x-3在(-∞,-1)内单调递减,在(3,+∞)内单调递增。而log1/2u在(0,+∞)上单调递减,所以log1/2(x2-2x-3)在(-∞,-1)单调递增,故选A。

2、(x+5)2+(y-12)2=142是以点C(-5,12)为圆心,半径为14的圆。设P为圆上任一点,则∣OP∣≥∣CP∣-∣OC∣=14-13=1

当点C、O、P共线时,等号成立,所以P到点O的最小值为1,故选B。

3、函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),当x≠0时,因为

f(-x)=(-x)/(1-2-x)-(-x)/2=(-x2x)/(2x-1)+(x/2)=(x+x(2x-1))/(1-2x)+(x/2)=(x/(1-2x))-x+(x/2)=(x/(1-2x))-(x/2)=f(x),所以f(x)为偶函数,显然f(x)不是奇函数,故选A。

4、设P1(4cosα,3sinα)(0<α<(π/2)),即点P1在第一象限的椭圆上,如图,考虑四边形P1AOB面积S,

S=SΔOAP1+SΔOBP1=(1/2)×4(3sinα)+(1/2)×3(4cosα)=6(sinα+cosα)=6√2sin(α=(π/4)),

∴Smax=6√2(此时α+(π/4)).

∵SΔOAB=(1/2)×4×3=6为定值,

∴SΔP1AB的最大值为6√2-6.

∵6√2-6<3,

∴点P不可能在直线AB的上方,显然在直线AB的下方有两个点P,故选B。

5、不妨设b1

定义映射f:A→B,使第i组的元素在f之下的象都是bi(i=1,2,…,50).

易知这样的f满足题设要求,每个这样的分组都一一对应满足条件的映射,于是满足题设要求的映射f的个数与A按足码顺序分为50组的分法数相等,而A的分法数为C4999,则这样的映射共有C4999,故选D。

6、如题图,两图形绕y轴旋转所得旋转体夹在两相距为8的平行平面之间,用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体,设截面与原点距离为∣y∣,则所得截面面积

S1=π(42-4∣y∣),

S2=π(42-y2)-π[4-(2-∣y∣2)]=π(42-4∣y∣)

∴S1=S2

由祖暅原理知,两几何体体积相等,

∴V1=V2,故选C.

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